Theorem dvfsumlem1 23789

Description: Lemma for dvfsumrlim 23794. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsum.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
dvfsumlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsumlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsumlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsumlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 12235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7	3, 6	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
8	7	flcld 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
9		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
11		flle 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
13		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
14	10, 7, 5, 12, 13	letrd 10194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌)
15		flbi 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ ((⌊‘𝑋) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
16	15	baibd 948	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
17	5, 8, 14, 16	syl21anc 1325	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
18	17	biimpar 502	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋))
19	18	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − (⌊‘𝑋)))
20	19	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
21	18	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
22	21	sumeq1d 14431	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
23	22	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
24	20, 23	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
25		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))
26	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
27	26	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
28	27	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
29	25, 28	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
30		flid 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
32	31, 25	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = ((⌊‘𝑋) + 1))
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
34	33	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
35	5	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
36	10	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
38		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
39	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
40		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
41		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
42		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
43	39, 40, 41, 42	dvmptrecl 23787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
46		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵
47	46	nfel1 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
48		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
50	47, 49	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
51	4, 45, 50	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
52	37, 38, 51	subdird 10487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
53	35, 36, 38	subsub4d 10423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
54	53	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
55	51	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
57	52, 54, 56	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
58	57	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
59	34, 58	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
60		dvfsum.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
61	8	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
62	60	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
63		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
65		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
66		dvfsum.md	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
67		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
68	62, 67, 65	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝐷 ↔ 𝑀 ≤ (𝐷 + 1)))
69	66, 68	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝐷)
70		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
71	64, 65, 7, 69, 70	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝑋)
72		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
73	60, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
74		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
75	7, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
76	71, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋))
77	62, 67, 10	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
78	76, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
79		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
80	60, 61, 78, 79	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
81		dvfsum.b2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
82	81	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
83	82	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
84		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
85		dvfsum.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
86	84, 85	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
87		dvfsum.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
88	87	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
89	88	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
90	83, 86, 89	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91		eqvisset 3211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V)
92		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
93	92	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑥 = 𝑘)
94	93, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
95	91, 94	csbied 3560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵 = 𝐶)
96	95	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝐶 = ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵)
97	80, 90, 96	fsumm1 14480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
98		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
99		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
100	36, 98, 99	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
101	100	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
102	101	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
104	97, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
105	104	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
106	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)))
107	106	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶)
108	25	csbeq1d 3540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵)
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
110	105, 107, 109	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
111	110	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
112		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
113		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
114	113, 85	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
115	83, 114, 89	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
116	112, 115	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
117	40	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
118	117	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℂ)
119		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
120	119	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
121		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
122	121	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
123	120, 122	rspc 3303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
124	4, 118, 123	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
125	116, 51, 124	addsubd 10413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
126	125	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
127	111, 126	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
128	59, 127	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
129	37, 51	mulcld 10060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
130	129	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
131	51	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
132	116, 124	subcld 10392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
133	132	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
134	130, 131, 133	nppcan3d 10419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
135	128, 134	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
136		dvfsumlem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
137		peano2re 10209	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
138	10, 137	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
139	5, 138	leloed 10180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1) ↔ (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))))
140	136, 139	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
141	24, 135, 140	mpjaodan 827	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
142		ovex 6678	. . 3 ⊢ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ V
143		nfcv 2764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
144		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
145		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
146	144, 145, 46	nfov 6676	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
147		nfcv 2764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 +
148		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
149		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 −
150	148, 149, 119	nfov 6676	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
151	146, 147, 150	nfov 6676	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
152		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
153		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
154	152, 153	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
155	154, 48	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
156	153	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
157	156	sumeq1d 14431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
158	157, 121	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
159	155, 158	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
160		dvfsum.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
161	143, 151, 159, 160	fvmptf 6301	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ V) → (𝐻‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
162	4, 142, 161	sylancl 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
163	129, 124, 116	subadd23d 10414	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
164	141, 162, 163	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200  ⦋csb 3533   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  (,)cioo 12175  ...cfz 12326  ⌊cfl 12591  Σcsu 14416   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  23790