Theorem dvfsumlem1 23789

Description: Lemma for dvfsumrlim 23794. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
dvfsum.h	|- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
dvfsumlem1.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsumlem1.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsumlem1.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsumlem1.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsumlem1.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsumlem1.6	|- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem1	|- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   k, Y, x   x, Z   U, k, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   H( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( T (,) +oo )
2		ioossre 12235	. . . . . . . . . 10 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. S )
5	3, 4	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR )
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. S )
7	3, 6	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR )
8	7	flcld 12599	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
9		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
11		flle 12600	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) <_ X )
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ X )
13		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X <_ Y )
14	10, 7, 5, 12, 13	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ Y )
15		flbi 12617	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> ( ( |_ ` X ) <_ Y /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
16	15	baibd 948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) /\ ( |_ ` X ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
17	5, 8, 14, 16	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
18	17	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( |_ ` X ) ) )
20	19	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
21	18	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
22	21	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
23	22	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
24	20, 23	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
26	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> X e. RR )
27	26	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
28	27	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
29	25, 28	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y e. ZZ )
30		flid 12609	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. ZZ -> ( |_ ` Y ) = Y )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = Y )
32	31, 25	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
34	33	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
35	5	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
36	10	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. CC )
37	35, 36	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) e. CC )
38		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
39	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ RR )
40		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
41		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
42		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
43	39, 40, 41, 42	dvmptrecl 23787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. CC )
45	44	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S B e. CC )
46		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ Y / x ]_ B
47	46	nfel1 2779	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ Y / x ]_ B e. CC
48		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Y -> B = [_ Y / x ]_ B )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( B e. CC <-> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
50	47, 49	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S B e. CC -> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
51	4, 45, 50	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
52	37, 38, 51	subdird 10487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
53	35, 36, 38	subsub4d 10423	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
54	53	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
55	51	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) = [_ Y / x ]_ B )
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
57	52, 54, 56	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
58	57	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
59	34, 58	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
60		dvfsum.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
61	8	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
62	60	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. RR )
63		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. RR -> ( M - 1 ) e. RR )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. RR )
65		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. RR )
66		dvfsum.md	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
67		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. RR )
68	62, 67, 65	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ D <-> M <_ ( D + 1 ) ) )
69	66, 68	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ D )
70		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D <_ X )
71	64, 65, 7, 69, 70	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ X )
72		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
73	60, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. ZZ )
74		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. RR /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
75	7, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
76	71, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) )
77	62, 67, 10	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) <-> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
78	76, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
79		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
80	60, 61, 78, 79	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
81		dvfsum.b2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
82	81	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. CC )
83	82	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. Z B e. CC )
84		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
85		dvfsum.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
86	84, 85	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. Z )
87		dvfsum.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> B = C )
88	87	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
89	88	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. Z B e. CC /\ k e. Z ) -> C e. CC )
90	83, 86, 89	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) -> C e. CC )
91		eqvisset 3211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V )
92		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( x = k <-> x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
93	92	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> x = k )
94	93, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> B = C )
95	91, 94	csbied 3560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B = C )
96	95	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> C = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
97	80, 90, 96	fsumm1 14480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
98		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
99		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` X ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
100	36, 98, 99	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
101	100	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
102	101	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
104	97, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
105	104	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
106	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
107	106	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C )
108	25	csbeq1d 3540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
110	105, 107, 109	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) )
111	110	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
112		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
113		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
114	113, 85	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
115	83, 114, 89	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. CC )
116	112, 115	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
117	40	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
118	117	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. S A e. CC )
119		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ Y / x ]_ A
120	119	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ Y / x ]_ A e. CC
121		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> A = [_ Y / x ]_ A )
122	121	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( A e. CC <-> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
123	120, 122	rspc 3303	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S A e. CC -> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
124	4, 118, 123	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
125	116, 51, 124	addsubd 10413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
126	125	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
127	111, 126	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
128	59, 127	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) )
129	37, 51	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
130	129	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
131	51	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
132	116, 124	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
133	132	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
134	130, 131, 133	nppcan3d 10419	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
135	128, 134	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
136		dvfsumlem1.6	. . . 4 |- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
137		peano2re 10209	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` X ) e. RR -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
138	10, 137	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
139	5, 138	leloed 10180	. . . 4 |- ( ph -> ( Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <-> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
140	136, 139	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
141	24, 135, 140	mpjaodan 827	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
142		ovex 6678	. . 3 |- ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V
143		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x Y
144		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x ( Y - ( |_ ` Y ) )
145		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x x.
146	144, 145, 46	nfov 6676	. . . . 5 |- F/_ x ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B )
147		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x +
148		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C
149		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x -
150	148, 149, 119	nfov 6676	. . . . 5 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A )
151	146, 147, 150	nfov 6676	. . . 4 |- F/_ x ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
152		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> x = Y )
153		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` Y ) )
154	152, 153	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
155	154, 48	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) = ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
156	153	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` Y ) ) )
157	156	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
158	157, 121	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
159	155, 158	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( x = Y -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
160		dvfsum.h	. . . 4 |- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
161	143, 151, 159, 160	fvmptf 6301	. . 3 |- ( ( Y e. S /\ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V ) -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
162	4, 142, 161	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
163	129, 124, 116	subadd23d 10414	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
164	141, 162, 163	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   sum_csu 14416   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  23790