Theorem sinasin 24616

Description: The arcsine function is an inverse to sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or sin↑-1. Because sin is not an injection, the other converse identity asinsin 24619 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem sinasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asincl 24600	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sinval 14852	. . 3 ⊢ ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
4		ax-icn 9995	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		mulcl 10020	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	mpan 706	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	negcld 10379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
8		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		sqcl 12925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		subcl 10280	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	11	sqrtcld 14176	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	6, 7, 12	pnpcan2d 10430	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
14		efiasin 24615	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15		mulneg12 10468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
16	4, 1, 15	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17		asinneg 24613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘-𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
19	16, 18	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘-𝐴)))
20	19	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))))
21		negcl 10281	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		efiasin 24615	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
24		mulneg2 10467	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
25	4, 24	mpan 706	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26		sqneg 12923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
29	25, 28	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	20, 23, 29	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
31	14, 30	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
32	6	2timesd 11275	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
33		2cn 11091	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		mulass 10024	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
35	33, 4, 34	mp3an12 1414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
36	6, 6	subnegd 10399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
37	32, 35, 36	3eqtr4d 2666	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
38	13, 31, 37	3eqtr4d 2666	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴))
39		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
40	4, 1, 39	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
41		efcl 14813	. . . . . 6 ⊢ ((i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
43		negicn 10282	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
44		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
45	43, 1, 44	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
46		efcl 14813	. . . . . 6 ⊢ ((-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
48	42, 47	subcld 10392	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
49		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
50		2mulicn 11255	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
52		2muline0 11256	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
54	48, 49, 51, 53	divmul2d 10834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴 ↔ ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴)))
55	38, 54	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴)
56	3, 55	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937  ici 9938   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  expce 14792  sincsin 14794  arcsincasin 24589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-asin 24592

This theorem is referenced by:  cosacos  24617  asinsinb  24624