Theorem aannenlem3 24085

Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
aannenlem.a	|- H = ( a e. NN0 |-> { b e. CC | E. c e. { d e. (Poly ` ZZ ) | ( d =/= 0p /\ (deg ` d ) <_ a /\ A. e e. NN0 ( abs ` ( (coeff ` d ) ` e ) ) <_ a ) } ( c ` b ) = 0 } )

Assertion

Ref	Expression
aannenlem3	|- AA ~~ NN

Distinct variable group:   a, b, c, d, e

Allowed substitution hints:   H( e, a, b, c, d)

Proof of Theorem aannenlem3

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aannenlem.a	. . . . . 6 |- H = ( a e. NN0 |-> { b e. CC | E. c e. { d e. (Poly ` ZZ ) | ( d =/= 0p /\ (deg ` d ) <_ a /\ A. e e. NN0 ( abs ` ( (coeff ` d ) ` e ) ) <_ a ) } ( c ` b ) = 0 } )
2	1	aannenlem2 24084	. . . . 5 |- AA = U. ran H
3		omelon 8543	. . . . . . . . . 10 |- om e. On
4		nn0ennn 12778	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 ~~ NN
5		nnenom 12779	. . . . . . . . . . . 12 |- NN ~~ om
6	4, 5	entri 8010	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 ~~ om
7	6	ensymi 8006	. . . . . . . . . 10 |- om ~~ NN0
8		isnumi 8772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. On /\ om ~~ NN0 ) -> NN0 e. dom card )
9	3, 7, 8	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. dom card
10		cnex 10017	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
11	10	rabex 4813	. . . . . . . . . . 11 |- { b e. CC | E. c e. { d e. (Poly ` ZZ ) | ( d =/= 0p /\ (deg ` d ) <_ a /\ A. e e. NN0 ( abs ` ( (coeff ` d ) ` e ) ) <_ a ) } ( c ` b ) = 0 } e. _V
12	11, 1	fnmpti 6022	. . . . . . . . . 10 |- H Fn NN0
13		dffn4 6121	. . . . . . . . . 10 |- ( H Fn NN0 <-> H : NN0 -onto-> ran H )
14	12, 13	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- H : NN0 -onto-> ran H
15		fodomnum 8880	. . . . . . . . 9 |- ( NN0 e. dom card -> ( H : NN0 -onto-> ran H -> ran H ~<_ NN0 ) )
16	9, 14, 15	mp2 9	. . . . . . . 8 |- ran H ~<_ NN0
17		domentr 8015	. . . . . . . 8 |- ( ( ran H ~<_ NN0 /\ NN0 ~~ om ) -> ran H ~<_ om )
18	16, 6, 17	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ran H ~<_ om
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( f Or CC -> ran H ~<_ om )
20		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . 10 |- ( H Fn NN0 -> ( f e. ran H <-> E. g e. NN0 ( H ` g ) = f ) )
21	12, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ran H <-> E. g e. NN0 ( H ` g ) = f )
22	1	aannenlem1 24083	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. NN0 -> ( H ` g ) e. Fin )
23		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H ` g ) = f -> ( ( H ` g ) e. Fin <-> f e. Fin ) )
24	22, 23	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. NN0 -> ( ( H ` g ) = f -> f e. Fin ) )
25	24	rexlimiv 3027	. . . . . . . . 9 |- ( E. g e. NN0 ( H ` g ) = f -> f e. Fin )
26	21, 25	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( f e. ran H -> f e. Fin )
27	26	ssriv 3607	. . . . . . 7 |- ran H C_ Fin
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( f Or CC -> ran H C_ Fin )
29		aasscn 24073	. . . . . . . 8 |- AA C_ CC
30	2, 29	eqsstr3i 3636	. . . . . . 7 |- U. ran H C_ CC
31		soss 5053	. . . . . . 7 |- ( U. ran H C_ CC -> ( f Or CC -> f Or U. ran H ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( f Or CC -> f Or U. ran H )
33		iunfictbso 8937	. . . . . 6 |- ( ( ran H ~<_ om /\ ran H C_ Fin /\ f Or U. ran H ) -> U. ran H ~<_ om )
34	19, 28, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( f Or CC -> U. ran H ~<_ om )
35	2, 34	syl5eqbr 4688	. . . 4 |- ( f Or CC -> AA ~<_ om )
36		cnso 14976	. . . 4 |- E. f f Or CC
37	35, 36	exlimiiv 1859	. . 3 |- AA ~<_ om
38	5	ensymi 8006	. . 3 |- om ~~ NN
39		domentr 8015	. . 3 |- ( ( AA ~<_ om /\ om ~~ NN ) -> AA ~<_ NN )
40	37, 38, 39	mp2an 708	. 2 |- AA ~<_ NN
41	10, 29	ssexi 4803	. . 3 |- AA e. _V
42		nnssq 11797	. . . 4 |- NN C_ QQ
43		qssaa 24079	. . . 4 |- QQ C_ AA
44	42, 43	sstri 3612	. . 3 |- NN C_ AA
45		ssdomg 8001	. . 3 |- ( AA e. _V -> ( NN C_ AA -> NN ~<_ AA ) )
46	41, 44, 45	mp2 9	. 2 |- NN ~<_ AA
47		sbth 8080	. 2 |- ( ( AA ~<_ NN /\ NN ~<_ AA ) -> AA ~~ NN )
48	40, 46, 47	mp2an 708	1 |- AA ~~ NN

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   ran crn 5115   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   cardccrd 8761   CCcc 9934   0cc0 9936   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   QQcq 11788   abscabs 13974   0pc0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943   AAcaa 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046  df-aa 24070

This theorem is referenced by:  aannen  24086