abelthlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem abelthlem2 24186

Description: Lemma for abelth 24195. The peculiar region

, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing

. Indeed, except for

itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
abelth.1
abelth.2
abelth.3
abelth.4
abelth.5

**Assertion**
Ref	Expression
abelthlem2	$/\$ $\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

**Proof of Theorem abelthlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.3	. 2
2		abelth.4	. 2
3		1cnd 10056	. . . 4 $/\$
4		0le0 11110	. . . . 5
5		simpl 473	. . . . . . 7 $/\$
6	5	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$
7	6	mul01d 10235	. . . . 5 $/\$
8	4, 7	syl5breqr 4691	. . . 4 $/\$
9		oveq2 6658	. . . . . . . 8
10		1m1e0 11089	. . . . . . . 8
11	9, 10	syl6eq 2672	. . . . . . 7
12	11	abs00bd 14031	. . . . . 6
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
14		abs1 14037	. . . . . . . . . 10
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
17	16, 10	syl6eq 2672	. . . . . . 7
18	17	oveq2d 6666	. . . . . 6
19	12, 18	breq12d 4666	. . . . 5
20		abelth.5	. . . . 5
21	19, 20	elrab2 3366	. . . 4 $/\$
22	3, 8, 21	sylanbrc 698	. . 3 $/\$
23		velsn 4193	. . . . . . . . . 10
24	23	necon3bbii 2841	. . . . . . . . 9
25		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . 15
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	27	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
29	25, 26, 28	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	25	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	29, 31	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
36	34, 25, 35	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	36	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40	25	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	39, 40, 41	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	38, 42	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	37, 43	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	33, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
50	49	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	34, 25, 50	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	48, 51	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		absgt0 14064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54	36, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	52, 54	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	46, 55	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58	10, 57	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	59	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	56, 60	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	45, 62	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
66	40, 39, 65	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	14	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
68		abs2dif 14072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
69	25, 34, 68	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	67, 69	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
72	25, 34, 71	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	70, 72	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	66, 37, 43, 73, 33	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	40, 64, 43	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	74, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	38, 40	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	79	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	77, 78, 80	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	77, 78, 82	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	77	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	83, 85	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	81, 87	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	76, 88	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91	38, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	79, 40, 91	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	89, 92	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	77, 78, 82	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	82	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	94, 96	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	91	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	93, 97, 99	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	38	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	101, 38, 91, 102, 103	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
106	40, 64, 91, 104, 105	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	40, 64, 107	leltned 10190	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	63, 108	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	32, 109	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . . . 14
112		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . 15
113		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	112, 113	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
115		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
116	111, 114, 115	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
117	26, 25, 116	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	110, 117	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	expr 643	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	3impb 1260	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	24, 120	syl5bi 232	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	orrd 393	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
123		elun 3753	. . . . . . 7 $\/$
124	122, 123	sylibr 224	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
125	124	rabssdv 3682	. . . . 5 $/\$
126	20, 125	syl5eqss 3649	. . . 4 $/\$
127		ssundif 4052	. . . 4 $\$
128	126, 127	sylib 208	. . 3 $/\$ $\$
129	22, 128	jca 554	. 2 $/\$ $/\$ $\$
130	1, 2, 129	syl2anc 693	1 $/\$ $\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

crab 2916 $\$ cdif 3571

cun 3572

wss 3574

csn 4177 class class class wbr 4653

cdm 5114

ccom 5118

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn0 11292

crp 11832

cseq 12801

cabs 13974

cli 14215

cxmt 19731

cbl 19733

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741

This theorem is referenced by: abelthlem3 24187 abelthlem6 24190 abelthlem7 24192 abelthlem8 24193 abelthlem9 24194 abelth 24195

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