Theorem abelthlem7 24192

Description: Lemma for abelth 24195. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
abelth.6	|- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
abelth.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
abelthlem6.1	|- ( ph -> X e. ( S \ { 1 } ) )
abelthlem7.2	|- ( ph -> R e. RR+ )
abelthlem7.3	|- ( ph -> N e. NN0 )
abelthlem7.4	|- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R )
abelthlem7.5	|- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
abelthlem7	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) < ( ( M + 1 ) x. R ) )

Distinct variable groups:   k, n, x, z, M   R, k, n, x, z   k, X, n, x, z   A, k, n, x, z   k, N, n   ph, k, n, x   S, k, n, x

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)   F( x, z, k, n)   N( x, z)

Proof of Theorem abelthlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
2		abelth.2	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
3		abelth.3	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
4		abelth.4	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ M )
5		abelth.5	. . . . 5 |- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
6		abelth.6	. . . . 5 |- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	abelthlem4 24188	. . . 4 |- ( ph -> F : S --> CC )
8		abelthlem6.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ( S \ { 1 } ) )
9	8	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> X e. S )
10	7, 9	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( F ` X ) e. CC )
11	10	abscld 14175	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) e. RR )
12		ax-1cn 9994	. . . . . 6 |- 1 e. CC
13		abelth.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem7a 24191	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. CC /\ ( abs ` ( 1 - X ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
15	14	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. CC )
16		subcl 10280	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( 1 - X ) e. CC )
17	12, 15, 16	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - X ) e. CC )
18		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
19		elfznn0 12433	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> n e. NN0 )
20		nn0uz 11722	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21		0zd 11389	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
22	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( A ` n ) e. CC )
23	20, 21, 22	serf 12829	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC )
24	23	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` n ) e. CC )
25		expcl 12878	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( X ^ n ) e. CC )
26	15, 25	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( X ^ n ) e. CC )
27	24, 26	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
28	19, 27	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
29	18, 28	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
30	17, 29	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
31	30	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. RR )
32		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
33		abelthlem7.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
34	33	nn0zd 11480	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
35		eluznn0 11757	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. NN0 )
36	33, 35	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. NN0 )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( seq 0 ( + , A ) ` k ) = ( seq 0 ( + , A ) ` n ) )
38		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( X ^ k ) = ( X ^ n ) )
39	37, 38	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) )
41		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. _V
42	39, 40, 41	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
43	36, 42	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
44	36, 27	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
45	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 24186	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 e. S /\ ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
46	45	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
47	46, 8	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	abelthlem5 24189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
49	47, 48	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
50	42	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
51	50, 27	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
52	20, 33, 51	iserex 14387	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
53	49, 52	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
54	32, 34, 43, 44, 53	isumcl 14492	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
55	17, 54	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
56	55	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. RR )
57	31, 56	readdcld 10069	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) e. RR )
58		peano2re 10209	. . . 4 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
59	3, 58	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
60		abelthlem7.2	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
61	60	rpred 11872	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
62	59, 61	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. R ) e. RR )
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem6 24190	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` X ) = ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
64	20, 32, 33, 50, 27, 49	isumsplit 14572	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) = ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) + sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
65	64	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( 1 - X ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) + sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
66	17, 29, 54	adddid 10064	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) + sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
67	63, 65, 66	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` X ) = ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
68	67	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) = ( abs ` ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) )
69	30, 55	abstrid 14195	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) )
70	68, 69	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) <_ ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) )
71	3, 61	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( M x. R ) e. RR )
72	17	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR )
73	24	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
74	19, 73	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
75	18, 74	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
76		peano2re 10209	. . . . . . 7 |- ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) e. RR )
77	75, 76	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) e. RR )
78	72, 77	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) e. RR )
79	17, 29	absmuld 14193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
80	29	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
81	17	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( 1 - X ) ) )
82	27	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
83	19, 82	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
84	18, 83	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
85	18, 28	fsumabs 14533	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
86	15	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. RR )
87		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) e. RR )
88	86, 87	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) e. RR )
89		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> 1 e. RR )
90	24	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
91	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` X ) e. RR )
92	15	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` X ) )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
94		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 e. CC
95		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
96	95	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( X e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
97	15, 94, 96	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
98	15	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( X - 0 ) = X )
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` ( X - 0 ) ) = ( abs ` X ) )
100	97, 99	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` X ) )
101		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
102		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. RR+
103		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
104	102, 103	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR*
105		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ X e. CC ) ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
106	101, 104, 105	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. CC /\ X e. CC ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
107	94, 15, 106	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
108	47, 107	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 )
109	100, 108	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( abs ` X ) < 1 )
110		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
111		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` X ) < 1 -> ( abs ` X ) <_ 1 ) )
112	86, 110, 111	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) < 1 -> ( abs ` X ) <_ 1 ) )
113	109, 112	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` X ) <_ 1 )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` X ) <_ 1 )
115		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
116		exple1 12920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) /\ ( abs ` X ) <_ 1 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) <_ 1 )
117	91, 93, 114, 115, 116	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) <_ 1 )
118	88, 89, 73, 90, 117	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) <_ ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. 1 ) )
119	24, 26	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( abs ` ( X ^ n ) ) ) )
120		absexp 14044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( X ^ n ) ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
121	15, 120	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( X ^ n ) ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( abs ` ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
123	119, 122	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
124	73	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. CC )
125	124	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
126	118, 123, 125	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
127	19, 126	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
128	18, 83, 74, 127	fsumle 14531	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
129	80, 84, 75, 85, 128	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
130	75	ltp1d 10954	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
131	80, 75, 77, 129, 130	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
132	80, 77, 131	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
133	80, 77, 72, 81, 132	lemul2ad 10964	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
134	79, 133	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
135		abelthlem7.5	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
136		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
137	19, 90	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
138	18, 74, 137	fsumge0 14527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
139	136, 75, 77, 138, 130	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
140		ltmuldiv 10896	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR /\ R e. RR /\ ( ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) < R <-> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) ) )
141	72, 61, 77, 139, 140	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) < R <-> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) ) )
142	135, 141	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) < R )
143	31, 78, 61, 134, 142	lelttrd 10195	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) < R )
144	17, 54	absmuld 14193	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
145	54	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
146	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
147		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) )
148		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. _V
149	146, 147, 148	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
150	36, 149	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
151	44	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
152		uzid 11702	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
153	34, 152	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
154		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( ( abs ` X ) ^ k ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
155		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) )
156		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` X ) ^ n ) e. _V
157	154, 155, 156	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
158	36, 157	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
159	36, 88	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) e. RR )
160	158, 159	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) e. RR )
161	151	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
162	150, 161	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) e. CC )
163	86	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. CC )
164		absidm 14063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( abs ` ( abs ` X ) ) = ( abs ` X ) )
165	15, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( abs ` X ) ) = ( abs ` X ) )
166	165, 109	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( abs ` X ) ) < 1 )
167	163, 166, 33, 158	geolim2 14602	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ~~> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
168		seqex 12803	. . . . . . . . . . 11 |- seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) e. _V
169		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. _V
170	168, 169	breldm 5329	. . . . . . . . . 10 |- ( seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ~~> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) e. dom ~~> )
171	167, 170	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) e. dom ~~> )
172	119, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
173	36, 172	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
174	36, 73	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
175	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> R e. RR )
176	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
177	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
178	176, 36, 177	expge0d 13026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) ^ n ) )
179		abelthlem7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R )
180	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) = ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
181	180	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R <-> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < R ) )
182	181	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < R )
183	179, 182	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < R )
184	174, 175, 183	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) <_ R )
185	174, 175, 159, 178, 184	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) <_ ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
186	173, 185	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
187	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
188		absidm 14063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC -> ( abs ` ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
189	44, 188	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
190	187, 189	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
191	158	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( R x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
192	186, 190, 191	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) ) <_ ( R x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) ) )
193	32, 153, 160, 162, 171, 61, 192	cvgcmpce 14550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
194	32, 34, 150, 151, 193	isumrecl 14496	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
195		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. ( S \ { 1 } ) -> X =/= 1 )
196	8, 195	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X =/= 1 )
197	196	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 =/= X )
198		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( 1 - X ) = 0 <-> 1 = X ) )
199	198	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( 1 - X ) =/= 0 <-> 1 =/= X ) )
200	12, 15, 199	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) =/= 0 <-> 1 =/= X ) )
201	197, 200	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 - X ) =/= 0 )
202	17, 201	absrpcld 14187	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR+ )
203	71, 202	rerpdivcld 11903	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) e. RR )
204	32, 34, 43, 44, 53	isumclim2 14489	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ~~> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
205	32, 34, 150, 161, 193	isumclim2 14489	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ) ~~> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
206	36, 51	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
207	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
208	150, 207	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) ) )
209	32, 204, 205, 34, 206, 208	iserabs 14547	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
210	86, 33	reexpcld 13025	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) ^ N ) e. RR )
211		difrp 11868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR+ ) )
212	86, 110, 211	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR+ ) )
213	109, 212	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR+ )
214	210, 213	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR )
215	61, 214	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) e. RR )
216	154	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
217		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) )
218		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) e. _V
219	216, 217, 218	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
220	36, 219	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
221	175, 159	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) e. RR )
222	60	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. CC )
223	160	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) e. CC )
224	220, 191	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) ) )
225	32, 34, 222, 167, 223, 224	isermulc2 14388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) ~~> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
226		seqex 12803	. . . . . . . . . . . 12 |- seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) e. _V
227		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) e. _V
228	226, 227	breldm 5329	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) ~~> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
229	225, 228	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
230	32, 34, 150, 151, 220, 221, 186, 193, 229	isumle 14576	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
231	221	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) e. CC )
232	32, 34, 220, 231, 225	isumclim 14488	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) = ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
233	230, 232	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
234	60, 213	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR+ )
235	234	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR )
236	210	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) ^ N ) e. CC )
237	213	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. CC )
238	213	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) =/= 0 )
239	222, 236, 237, 238	div12d 10837	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( ( ( abs ` X ) ^ N ) x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
240		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
241	234	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
242		exple1 12920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) /\ ( abs ` X ) <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ N ) <_ 1 )
243	86, 92, 113, 33, 242	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) ^ N ) <_ 1 )
244	210, 240, 235, 241, 243	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
245	234	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. CC )
246	245	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
247	244, 246	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
248	239, 247	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
249	14	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
250		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR /\ ( abs ` X ) e. RR ) -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR )
251	110, 86, 250	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR )
252	3, 251	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR )
253	72, 252, 60	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <-> ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) ) )
254	249, 253	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
255	3	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. CC )
256	222, 255, 237	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( M x. ( R x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
257	222, 237	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( R x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. R ) )
258	257	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. ( R x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( M x. ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. R ) ) )
259	255, 237, 222	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. R ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) )
260	256, 258, 259	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) )
261	254, 260	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) )
262	251, 71	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) e. RR )
263	61, 262, 202	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) <-> R <_ ( ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
264	261, 263	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R <_ ( ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
265	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M x. R ) e. CC )
266	72	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. CC )
267	202	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) =/= 0 )
268	237, 265, 266, 267	divassd 10836	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
269	264, 268	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
270		posdif 10521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
271	86, 110, 270	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
272	109, 271	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) )
273		ledivmul 10899	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) e. RR /\ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) -> ( ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <-> R <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) ) )
274	61, 203, 251, 272, 273	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <-> R <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) ) )
275	269, 274	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
276	215, 235, 203, 248, 275	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
277	194, 215, 203, 233, 276	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
278	145, 194, 203, 209, 277	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
279	145, 71, 202	lemuldiv2d 11922	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( M x. R ) <-> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
280	278, 279	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( M x. R ) )
281	144, 280	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( M x. R ) )
282	31, 56, 61, 71, 143, 281	ltleaddd 10648	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) < ( R + ( M x. R ) ) )
283		1cnd 10056	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
284	255, 283, 222	adddird 10065	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. R ) = ( ( M x. R ) + ( 1 x. R ) ) )
285	222	mulid2d 10058	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. R ) = R )
286	285	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M x. R ) + ( 1 x. R ) ) = ( ( M x. R ) + R ) )
287	265, 222	addcomd 10238	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M x. R ) + R ) = ( R + ( M x. R ) ) )
288	284, 286, 287	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. R ) = ( R + ( M x. R ) ) )
289	282, 288	breqtrrd 4681	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) < ( ( M + 1 ) x. R ) )
290	11, 57, 62, 70, 289	lelttrd 10195	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) < ( ( M + 1 ) x. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  abelthlem8  24193