Theorem abelthlem8 24193

Description: Lemma for abelth 24195. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
abelth.6	|- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
abelth.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )

Assertion

Ref	Expression
abelthlem8	|- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z, M   R, n, w, x, y, z   A, n, w, x, y, z   ph, n, w, x, y   w, F, y   S, n, w, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)   F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem8

Dummy variables i j k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 11389	. . 3 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> 0 e. ZZ )
3		id 22	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> R e. RR+ )
4		abelth.3	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
5		abelth.4	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ M )
6	4, 5	ge0p1rpd 11902	. . . 4 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR+ )
7		rpdivcl 11856	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ ( M + 1 ) e. RR+ ) -> ( R / ( M + 1 ) ) e. RR+ )
8	3, 6, 7	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> ( R / ( M + 1 ) ) e. RR+ )
9		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` k ) = ( seq 0 ( + , A ) ` k ) )
10		abelth.7	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
11	10	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
12	1, 2, 8, 9, 11	climi0 14243	. 2 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> E. j e. NN0 A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) )
13	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) -> ( R / ( M + 1 ) ) e. RR+ )
14		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin )
15		0zd 11389	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
16		abelth.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
17	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. NN0 ) -> ( A ` w ) e. CC )
18	1, 15, 17	serf 12829	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC )
19		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) -> i e. NN0 )
20		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC /\ i e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` i ) e. CC )
21	18, 19, 20	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` i ) e. CC )
22	21	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) e. RR )
23	14, 22	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) e. RR )
24	23	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) e. RR )
25	21	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) )
26	14, 22, 25	fsumge0 14527	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) )
27	26	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) )
28	24, 27	ge0p1rpd 11902	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) e. RR+ )
29	13, 28	rpdivcld 11889	. . 3 |- ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) -> ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
30		abelth.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
31		abelth.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
32	16, 30, 4, 5, 31	abelthlem2 24186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 e. S /\ ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
33	32	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. S )
34		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 1 -> ( x ^ n ) = ( 1 ^ n ) )
35		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
36		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
38	34, 37	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 1 /\ n e. NN0 ) -> ( x ^ n ) = 1 )
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = 1 /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` n ) x. 1 ) )
40	39	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1 -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. 1 ) )
41		abelth.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
42		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. 1 ) e. _V
43	40, 41, 42	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. S -> ( F ` 1 ) = sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. 1 ) )
44	33, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. 1 ) )
45	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( A ` n ) e. CC )
46	45	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. 1 ) = ( A ` n ) )
47	46	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( A ` n ) = ( ( A ` n ) x. 1 ) )
48	46, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. 1 ) e. CC )
49	1, 15, 47, 48, 10	isumclim 14488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. 1 ) = 0 )
50	44, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = 0 )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( F ` 1 ) = 0 )
52	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) = ( 0 - ( F ` y ) ) )
53		df-neg 10269	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( F ` y ) = ( 0 - ( F ` y ) )
54	52, 53	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) = -u ( F ` y ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` -u ( F ` y ) ) )
56	16, 30, 4, 5, 31, 41	abelthlem4 24188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : S --> CC )
57	56	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( F ` y ) e. CC )
58	57	absnegd 14188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` -u ( F ` y ) ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
59	55, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
60	59	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
61	60	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
62		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) -> ph )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 1 -> ( F ` y ) = ( F ` 1 ) )
64	63, 50	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y = 1 ) -> ( F ` y ) = 0 )
65	64	abs00bd 14031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = 1 ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) = 0 )
66	62, 65	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) /\ y = 1 ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) = 0 )
67		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) -> R e. RR+ )
68	67	rpgt0d 11875	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < R )
69	68	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) /\ y = 1 ) -> 0 < R )
70	66, 69	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) /\ y = 1 ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) < R )
71	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> A : NN0 --> CC )
72	30	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
73	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> M e. RR )
74	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> 0 <_ M )
75	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
76		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> y e. S )
77		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> y =/= 1 )
78		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( S \ { 1 } ) <-> ( y e. S /\ y =/= 1 ) )
79	76, 77, 78	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> y e. ( S \ { 1 } ) )
80	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> ( R / ( M + 1 ) ) e. RR+ )
81		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> j e. NN0 )
82		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) )
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( seq 0 ( + , A ) ` k ) = ( seq 0 ( + , A ) ` m ) )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) = ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) )
85	84	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) <-> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) )
86	85	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) )
87	82, 86	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) )
88		simprlr 803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) )
89		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( seq 0 ( + , A ) ` i ) = ( seq 0 ( + , A ) ` n ) )
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = n -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) = ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
91	90	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) )
92	91	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) = ( sum_ n e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 )
93	92	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) = ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
94	88, 93	syl6breq 4694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
95	71, 72, 73, 74, 31, 41, 75, 79, 80, 81, 87, 94	abelthlem7 24192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) < ( ( M + 1 ) x. ( R / ( M + 1 ) ) ) )
96		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> R e. CC )
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> R e. CC )
98	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> ( M + 1 ) e. RR+ )
99	98	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> ( M + 1 ) e. CC )
100	98	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> ( M + 1 ) =/= 0 )
101	97, 99, 100	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> ( ( M + 1 ) x. ( R / ( M + 1 ) ) ) = R )
102	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> ( ( M + 1 ) x. ( R / ( M + 1 ) ) ) = R )
103	95, 102	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) /\ y =/= 1 ) ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) < R )
104	103	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) /\ y =/= 1 ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) < R )
105	70, 104	pm2.61dane 2881	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) < R )
106	61, 105	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ ( y e. S /\ ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R )
107	106	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) )
108	107	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) -> A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) )
109		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( w = ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w <-> ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) ) )
110	109	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( w = ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) <-> ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) ) )
111	110	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( w = ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) -> ( A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) <-> A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) ) )
112	111	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) e. RR+ /\ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < ( ( R / ( M + 1 ) ) / ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) ) -> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) )
113	29, 108, 112	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( ph /\ R e. RR+ ) /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < ( R / ( M + 1 ) ) ) ) -> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) )
114	12, 113	rexlimddv 3035	1 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  abelthlem9  24194