Theorem abelthlem4 24188

Description: Lemma for abelth 24195. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
abelth.6	|- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
abelthlem4	|- ( ph -> F : S --> CC )

Distinct variable groups:   x, n, z, M   A, n, x, z   ph, n, x   S, n, x

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)   F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem4

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 11389	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> 0 e. ZZ )
3		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( A ` m ) = ( A ` n ) )
4		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( x ^ m ) = ( x ^ n ) )
5	3, 4	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( A ` m ) x. ( x ^ m ) ) = ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( m e. NN0 |-> ( ( A ` m ) x. ( x ^ m ) ) ) = ( m e. NN0 |-> ( ( A ` m ) x. ( x ^ m ) ) )
7		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) e. _V
8	5, 6, 7	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( A ` m ) x. ( x ^ m ) ) ) ` n ) = ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
9	8	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( A ` m ) x. ( x ^ m ) ) ) ` n ) = ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
10		abelth.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
11	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A : NN0 --> CC )
12	11	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ n e. NN0 ) -> ( A ` n ) e. CC )
13		abelth.5	. . . . . . . 8 |- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
14		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } C_ CC
15	13, 14	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- S C_ CC
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ CC )
17	16	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. CC )
18		expcl 12878	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( x ^ n ) e. CC )
19	17, 18	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ n e. NN0 ) -> ( x ^ n ) e. CC )
20	12, 19	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) e. CC )
21		abelth.2	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
22		abelth.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
23		abelth.4	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ M )
24	10, 21, 22, 23, 13	abelthlem3 24187	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> seq 0 ( + , ( m e. NN0 |-> ( ( A ` m ) x. ( x ^ m ) ) ) ) e. dom ~~> )
25	1, 2, 9, 20, 24	isumcl 14492	. 2 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) e. CC )
26		abelth.6	. 2 |- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
27	25, 26	fmptd 6385	1 |- ( ph -> F : S --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  abelthlem7  24192  abelthlem8  24193  abelthlem9  24194  abelth  24195