Theorem abelthlem5 24189

Description: Lemma for abelth 24195. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
abelth.6	|- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
abelth.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )

Assertion

Ref	Expression
abelthlem5	|- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   k, n, x, z, M   k, X, n, x, z   A, k, n, x, z   ph, k, n, x   S, k, n, x

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)   F( x, z, k, n)

Proof of Theorem abelthlem5

Dummy variables i j m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 11389	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		1rp 11836	. . . . 5 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
5		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` m ) = ( seq 0 ( + , A ) ` m ) )
6		abelth.7	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
7	1, 2, 4, 5, 6	climi0 14243	. . 3 |- ( ph -> E. j e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 )
8	7	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> E. j e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 )
9		simprl 794	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> j e. NN0 )
10		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = i -> ( ( abs ` X ) ^ n ) = ( ( abs ` X ) ^ i ) )
11		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) )
12		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( abs ` X ) ^ i ) e. _V
13	10, 11, 12	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( i e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ` i ) = ( ( abs ` X ) ^ i ) )
14	13	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ` i ) = ( ( abs ` X ) ^ i ) )
15		cnxmet 22576	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
16		0cn 10032	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
17		rpxr 11840	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
19		blssm 22223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ 1 e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) C_ CC )
20	15, 16, 18, 19	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) C_ CC
21		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
22	20, 21	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> X e. CC )
23	22	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
24		reexpcl 12877	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ i e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ i ) e. RR )
25	23, 24	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ i ) e. RR )
26	14, 25	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ` i ) e. RR )
27		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = i -> ( seq 0 ( + , A ) ` k ) = ( seq 0 ( + , A ) ` i ) )
28		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = i -> ( X ^ k ) = ( X ^ i ) )
29	27, 28	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( k = i -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) )
30		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) )
31		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) e. _V
32	29, 30, 31	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( i e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) )
33	32	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) )
34		abelth.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
35	34	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> ( A ` x ) e. CC )
36	1, 2, 35	serf 12829	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC )
38	37	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` i ) e. CC )
39		expcl 12878	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ i e. NN0 ) -> ( X ^ i ) e. CC )
40	22, 39	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( X ^ i ) e. CC )
41	38, 40	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) e. CC )
42	33, 41	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) e. CC )
43	23	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. CC )
44		absidm 14063	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( abs ` ( abs ` X ) ) = ( abs ` X ) )
45	22, 44	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` ( abs ` X ) ) = ( abs ` X ) )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
47	46	cnmetdval 22574	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
48	22, 16, 47	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
49	22	subid1d 10381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( X - 0 ) = X )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` ( X - 0 ) ) = ( abs ` X ) )
51	48, 50	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` X ) )
52		elbl3 22197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ X e. CC ) ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
53	15, 18, 52	mpanl12 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. CC /\ X e. CC ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
54	16, 22, 53	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
55	21, 54	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 )
56	51, 55	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) < 1 )
57	45, 56	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` ( abs ` X ) ) < 1 )
58	43, 57, 14	geolim 14601	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
59		climrel 14223	. . . . 5 |- Rel ~~>
60	59	releldmi 5362	. . . 4 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
61	58, 60	syl 17	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
62		1red 10055	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> 1 e. RR )
63	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC )
64		eluznn0 11757	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN0 /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> i e. NN0 )
65	9, 64	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> i e. NN0 )
66	63, 65	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` i ) e. CC )
67	65, 40	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( X ^ i ) e. CC )
68	66, 67	absmuld 14193	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) x. ( abs ` ( X ^ i ) ) ) )
69	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> X e. CC )
70	69, 65	absexpd 14191	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( X ^ i ) ) = ( ( abs ` X ) ^ i ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) x. ( abs ` ( X ^ i ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ i ) ) )
72	68, 71	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ i ) ) )
73	66	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) e. RR )
74		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
75	65, 25	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ i ) e. RR )
76	67	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( X ^ i ) ) )
77	76, 70	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) ^ i ) )
78		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 )
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = i -> ( seq 0 ( + , A ) ` m ) = ( seq 0 ( + , A ) ` i ) )
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( m = i -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) = ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) )
81	80	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( m = i -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 <-> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) < 1 ) )
82	81	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) < 1 )
83	78, 82	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) < 1 )
84		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
85		ltle 10126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) < 1 -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) <_ 1 ) )
86	73, 84, 85	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) < 1 -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) <_ 1 ) )
87	83, 86	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) <_ 1 )
88	73, 74, 75, 77, 87	lemul1ad 10963	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` i ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ i ) ) <_ ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ i ) ) )
89	72, 88	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) ) <_ ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ i ) ) )
90	65, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) )
91	90	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) ) )
92	65, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ` i ) = ( ( abs ` X ) ^ i ) )
93	92	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ` i ) ) = ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ i ) ) )
94	89, 91, 93	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) ) <_ ( 1 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ n ) ) ` i ) ) )
95	1, 9, 26, 42, 61, 62, 94	cvgcmpce 14550	. 2 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) /\ ( j e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` m ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
96	8, 95	rexlimddv 3035	1 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  abelthlem6  24190  abelthlem7  24192