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Theorem bitsinv1lem 15163

Description: Lemma for bitsinv1 15164. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
bitsinv1lem	$/\$ bits

**Proof of Theorem bitsinv1lem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . 3 bits bits
2	1	eqeq2d 2632	. 2 bits bits
3		oveq2 6658	. . 3 bits bits
4	3	eqeq2d 2632	. 2 bits bits
5		simpl 473	. . . . . . 7 $/\$
6		2nn 11185	. . . . . . . . 9
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
8		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
9	7, 8	nnexpcld 13030	. . . . . . 7 $/\$
10	5, 9	zmodcld 12691	. . . . . 6 $/\$
11	10	nn0cnd 11353	. . . . 5 $/\$
12	11	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ bits
13		1nn0 11308	. . . . . . . . . 10
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
15	8, 14	nn0addcld 11355	. . . . . . . 8 $/\$
16	7, 15	nnexpcld 13030	. . . . . . 7 $/\$
17	5, 16	zmodcld 12691	. . . . . 6 $/\$
18	17	nn0cnd 11353	. . . . 5 $/\$
19	18	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ bits
20	12, 19	pncan3d 10395	. . 3 $/\$ $/\$ bits
21	18, 11	subcld 10392	. . . . . 6 $/\$
22	21	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ bits
23	6	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ bits
24		simplr 792	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ bits
25	23, 24	nnexpcld 13030	. . . . . 6 $/\$ $/\$ bits
26	25	nncnd 11036	. . . . 5 $/\$ $/\$ bits
27		2cnd 11093	. . . . . . 7 $/\$
28		2ne0 11113	. . . . . . . 8
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
30	8	nn0zd 11480	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 29, 30	expne0d 13014	. . . . . 6 $/\$
32	31	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ bits
33		2z 11409	. . . . . . . . . . 11
34		dvds0 14997	. . . . . . . . . . 11
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
36		id 22	. . . . . . . . . 10
37	35, 36	syl5breqr 4691	. . . . . . . . 9
38		bitsval2 15147	. . . . . . . . . . 11 $/\$ bits
39	5	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	9	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
41		moddiffl 12681	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	42	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
45		moddifz 12682	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
46	39, 40, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
47	5	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
48	47, 11, 18	nnncan1d 10426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
50	47, 11	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
51	47, 18	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
52	9	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
53	50, 51, 52, 31	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54	49, 53	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
55	27, 51	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
56	27, 52	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
57	27, 8	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
58	56, 57	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
59	55, 58	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
60	51, 52, 27, 31, 29	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
61	16	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
62	30	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
63	27, 29, 62	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
64	51, 27, 61, 63	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
65	59, 60, 64	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
66	16	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
67		moddifz 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
68	39, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
69	68, 44	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
70	65, 69	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
71	46, 70	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	54, 71	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
73		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	68, 44, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	47, 18, 11	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
76	75	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	50, 21, 52, 31	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	76, 77, 65	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79	74, 78	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
80		dvdssub2 15023	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81	44, 46, 72, 79, 80	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	43, 81	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 $/\$
84	38, 83	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 $/\$ bits
85	84	con2bid 344	. . . . . . . . 9 $/\$ bits
86	37, 85	syl5ib 234	. . . . . . . 8 $/\$ bits
87	86	con2d 129	. . . . . . 7 $/\$ bits
88		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	52	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
90	9	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
91	90	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
92	39, 40	modcld 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
93	92	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
94	39, 66	modcld 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
95	94, 92	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
96		modlt 12679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
97	39, 40, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
98	92, 90	ltnegd 10605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
99	97, 98	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
100		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
102		modge0 12678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
103	39, 66, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
104	101, 94, 92, 103	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
105	100, 104	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
106	91, 93, 95, 99, 105	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
107	89, 106	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
108		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
109	108	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
110	109, 95, 40	ltmuldivd 11919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
111	107, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
112	88, 111	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
113		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	113, 72, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116	112, 115	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
117		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
118	72, 116, 117	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
119		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . 12
120	118, 119	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 $/\$
121	16	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122		modge0 12678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
123	39, 40, 122	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
124	94, 92	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
125	123, 124	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
126		modlt 12679	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
127	39, 66, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	95, 94, 121, 125, 127	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
129	128, 57	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	7	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
131	95, 130, 40	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
132	129, 131	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 $/\$
133		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$ $/\$
134	120, 44, 132, 133	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
135		fzo0to2pr 12553	. . . . . . . . . 10 ..^
136	134, 135	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 $/\$
137		elpri 4197	. . . . . . . . 9 $\/$
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
139	138	ord 392	. . . . . . 7 $/\$
140	87, 139	syld 47	. . . . . 6 $/\$ bits
141	140	imp 445	. . . . 5 $/\$ $/\$ bits
142	22, 26, 32, 141	diveq1d 10809	. . . 4 $/\$ $/\$ bits
143	142	oveq2d 6666	. . 3 $/\$ $/\$ bits
144	20, 143	eqtr3d 2658	. 2 $/\$ $/\$ bits
145	18	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ bits
146	11	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ bits
147	21	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ bits
148	52	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ bits
149	31	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ bits
150		n2dvds1 15104	. . . . . . . . . 10
151		breq2 4657	. . . . . . . . . 10
152	150, 151	mtbiri 317	. . . . . . . . 9
153	139, 152	syl6 35	. . . . . . . 8 $/\$
154	153, 84	sylibrd 249	. . . . . . 7 $/\$ bits
155	154	con1d 139	. . . . . 6 $/\$ bits
156	155	imp 445	. . . . 5 $/\$ $/\$ bits
157	147, 148, 149, 156	diveq0d 10808	. . . 4 $/\$ $/\$ bits
158	145, 146, 157	subeq0d 10400	. . 3 $/\$ $/\$ bits
159	146	addid1d 10236	. . 3 $/\$ $/\$ bits
160	158, 159	eqtr4d 2659	. 2 $/\$ $/\$ bits
161	2, 4, 144, 160	ifbothda 4123	1 $/\$ bits

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cif 4086

cpr 4179 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832 ..^cfzo 12465

cfl 12591

cmo 12668

cexp 12860

cdvds 14983 bitscbits 15141

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-dvds 14984 df-bits 15144

This theorem is referenced by: bitsinv1 15164 smumullem 15214

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