Theorem bitsshft 15197

Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsshft	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> { n e. NN0 | ( n - N ) e. (bits ` A ) } = (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Proof of Theorem bitsshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsss 15148	. . 3 |- (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) C_ NN0
2		sseqin2 3817	. . 3 |- ( (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) C_ NN0 <-> ( NN0 i^i (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) ) = (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) )
3	1, 2	mpbi 220	. 2 |- ( NN0 i^i (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) ) = (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) )
4		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> A e. ZZ )
5		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> 2 e. NN )
7		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> N e. NN0 )
8	6, 7	nnexpcld 13030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
9	8	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
10		dvdsmul2 15004	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ N ) || ( A x. ( 2 ^ N ) ) )
11	4, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) || ( A x. ( 2 ^ N ) ) )
12	4, 9	zmulcld 11488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( A x. ( 2 ^ N ) ) e. ZZ )
13		bitsuz 15196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. ( 2 ^ N ) ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ N ) || ( A x. ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) C_ ( ZZ>= ` N ) ) )
14	12, 7, 13	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ N ) || ( A x. ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) C_ ( ZZ>= ` N ) ) )
15	11, 14	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
16	15	sseld 3602	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( n e. (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
17		uznn0sub 11719	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> ( n - N ) e. NN0 )
18	16, 17	syl6 35	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( n e. (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) -> ( n - N ) e. NN0 ) )
19		bitsss 15148	. . . . . 6 |- (bits ` A ) C_ NN0
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> (bits ` A ) C_ NN0 )
21	20	sseld 3602	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n - N ) e. (bits ` A ) -> ( n - N ) e. NN0 ) )
22		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> 2 e. CC )
23	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> 2 e. NN )
24	23	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> 2 =/= 0 )
25		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> N e. NN0 )
26	25	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> N e. ZZ )
27		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> n e. NN0 )
28	27	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> n e. ZZ )
29	22, 24, 26, 28	expsubd 13019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ ( n - N ) ) = ( ( 2 ^ n ) / ( 2 ^ N ) ) )
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( n - N ) ) ) = ( A / ( ( 2 ^ n ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
31		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> A e. ZZ )
32	31	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> A e. CC )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> A e. CC )
34	23, 27	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
35	34	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
36	23, 25	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
37	36	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
38	34	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ n ) =/= 0 )
39	36	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ N ) =/= 0 )
40	33, 35, 37, 38, 39	divdiv2d 10833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( A / ( ( 2 ^ n ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( A x. ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ n ) ) )
41	30, 40	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( ( A x. ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ n ) ) = ( A / ( 2 ^ ( n - N ) ) ) )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( |_ ` ( ( A x. ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( n - N ) ) ) ) )
43	42	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( 2 || ( |_ ` ( ( A x. ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ n ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( n - N ) ) ) ) ) )
44	43	notbid 308	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( ( A x. ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ n ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( n - N ) ) ) ) ) )
45	12	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( A x. ( 2 ^ N ) ) e. ZZ )
46		bitsval2 15147	. . . . . . 7 |- ( ( ( A x. ( 2 ^ N ) ) e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> ( n e. (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( A x. ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
47	45, 27, 46	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( n e. (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( A x. ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
48		bitsval2 15147	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n - N ) e. NN0 ) -> ( ( n - N ) e. (bits ` A ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( n - N ) ) ) ) ) )
49	48	ad2ant2rl 785	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( ( n - N ) e. (bits ` A ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( n - N ) ) ) ) ) )
50	44, 47, 49	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ ( n e. NN0 /\ ( n - N ) e. NN0 ) ) -> ( n e. (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) <-> ( n - N ) e. (bits ` A ) ) )
51	50	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n - N ) e. NN0 -> ( n e. (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) <-> ( n - N ) e. (bits ` A ) ) ) )
52	18, 21, 51	pm5.21ndd 369	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( n e. (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) <-> ( n - N ) e. (bits ` A ) ) )
53	52	rabbi2dva 3821	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( NN0 i^i (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) ) = { n e. NN0 | ( n - N ) e. (bits ` A ) } )
54	3, 53	syl5reqr 2671	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> { n e. NN0 | ( n - N ) e. (bits ` A ) } = (bits ` ( A x. ( 2 ^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   |_cfl 12591   ^cexp 12860   || cdvds 14983  bitscbits 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-had 1533  df-cad 1546  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144  df-sad 15173

This theorem is referenced by:  smumullem  15214