Theorem cnllysconn 31227

Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnllysconn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
cnllysconn	|- J e. Locally SConn

Proof of Theorem cnllysconn

Dummy variables u r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnllysconn.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 22587	. 2 |- J e. Top
3		cnxmet 22576	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
4	1	cnfldtopn 22585	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
5	4	mopni2 22298	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
6	3, 5	mp3an1 1411	. . . 4 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
7	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
8	1	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . 9 |- J e. (TopOn ` CC )
9		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x e. J )
10		toponss 20731	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ x e. J ) -> x C_ CC )
11	8, 9, 10	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ CC )
12		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. x )
13	11, 12	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. CC )
14		rpxr 11840	. . . . . . . 8 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
15	14	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> r e. RR* )
16	4	blopn 22305	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) e. J )
17	7, 13, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) e. J )
18		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
19		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
20	19	elpw2 4828	. . . . . . 7 |- ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) e. ~P x <-> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
21	18, 20	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) e. ~P x )
22	17, 21	elind 3798	. . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) e. ( J i^i ~P x ) )
23		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> r e. RR+ )
24		blcntr 22218	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ r e. RR+ ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
25	7, 13, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
26		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r )
27		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( J ↾t ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) = ( J ↾t ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
28	1, 26, 27	blsconn 31226	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ r e. RR* ) -> ( J ↾t ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. SConn )
29	13, 15, 28	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( J ↾t ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. SConn )
30		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( u = ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( y e. u <-> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) )
31		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( u = ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( J ↾t u ) = ( J ↾t ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) )
32	31	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( u = ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( ( J ↾t u ) e. SConn <-> ( J ↾t ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. SConn ) )
33	30, 32	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( u = ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. SConn ) <-> ( y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) /\ ( J ↾t ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. SConn ) ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) e. ( J i^i ~P x ) /\ ( y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) /\ ( J ↾t ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. SConn ) ) -> E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. SConn ) )
35	22, 25, 29, 34	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. SConn ) )
36	6, 35	rexlimddv 3035	. . 3 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. SConn ) )
37	36	rgen2 2975	. 2 |- A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. SConn )
38		islly 21271	. 2 |- ( J e. Locally SConn <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. SConn ) ) )
39	2, 37, 38	mpbir2an 955	1 |- J e. Locally SConn

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RR*cxr 10073   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715  Locally clly 21267  SConncsconn 31202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lly 21269  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pconn 31203  df-sconn 31204

This theorem is referenced by: (None)