Theorem cygznlem1 19915

Description: Lemma for cygzn 19919. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygzn.b	|- B = ( Base ` G )
cygzn.n	|- N = if ( B e. Fin , ( # ` B ) , 0 )
cygzn.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
cygzn.m	|- .x. = (.g ` G )
cygzn.l	|- L = ( ZRHom ` Y )
cygzn.e	|- E = { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B }
cygzn.g	|- ( ph -> G e. CycGrp )
cygzn.x	|- ( ph -> X e. E )

Assertion

Ref	Expression
cygznlem1	|- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( L ` K ) = ( L ` M ) <-> ( K .x. X ) = ( M .x. X ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, B   n, G, x   .x. , n, x   n, Y, x   n, L, x   x, N   n, X, x

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   E( x, n)   K( x, n)   M( x, n)   N( n)

Proof of Theorem cygznlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygzn.n	. . . . 5 |- N = if ( B e. Fin , ( # ` B ) , 0 )
2		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( B e. Fin -> ( # ` B ) e. NN0 )
3	2	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
4		0nn0 11307	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. B e. Fin ) -> 0 e. NN0 )
6	3, 5	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ph -> if ( B e. Fin , ( # ` B ) , 0 ) e. NN0 )
7	1, 6	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> N e. NN0 )
9		simprl 794	. . 3 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
10		simprr 796	. . 3 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
11		cygzn.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
12		cygzn.l	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Y )
13	11, 12	zndvds 19898	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( L ` K ) = ( L ` M ) <-> N || ( K - M ) ) )
14	8, 9, 10, 13	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( L ` K ) = ( L ` M ) <-> N || ( K - M ) ) )
15		cygzn.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CycGrp )
16		cyggrp 18291	. . . . . . 7 |- ( G e. CycGrp -> G e. Grp )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
18		cygzn.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. E )
19		cygzn.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
20		cygzn.m	. . . . . . 7 |- .x. = (.g ` G )
21		cygzn.e	. . . . . . 7 |- E = { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B }
22		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( od ` G ) = ( od ` G )
23	19, 20, 21, 22	cyggenod2 18287	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. E ) -> ( ( od ` G ) ` X ) = if ( B e. Fin , ( # ` B ) , 0 ) )
24	17, 18, 23	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( od ` G ) ` X ) = if ( B e. Fin , ( # ` B ) , 0 ) )
25	24, 1	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ph -> ( ( od ` G ) ` X ) = N )
26	25	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( od ` G ) ` X ) = N )
27	26	breq1d 4663	. 2 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( od ` G ) ` X ) || ( K - M ) <-> N || ( K - M ) ) )
28	17	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> G e. Grp )
29	19, 20, 21	iscyggen 18282	. . . . . 6 |- ( X e. E <-> ( X e. B /\ ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. X ) ) = B ) )
30	29	simplbi 476	. . . . 5 |- ( X e. E -> X e. B )
31	18, 30	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
32	31	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> X e. B )
33		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
34	19, 22, 20, 33	odcong 17968	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( od ` G ) ` X ) || ( K - M ) <-> ( K .x. X ) = ( M .x. X ) ) )
35	28, 32, 9, 10, 34	syl112anc 1330	. 2 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( od ` G ) ` X ) || ( K - M ) <-> ( K .x. X ) = ( M .x. X ) ) )
36	14, 27, 35	3bitr2d 296	1 |- ( ( ph /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( L ` K ) = ( L ` M ) <-> ( K .x. X ) = ( M .x. X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   #chash 13117   || cdvds 14983   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   odcod 17944  CycGrpccyg 18279   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-cyg 18280  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  cygznlem2a  19916  cygznlem3  19918