Theorem cygznlem3 19918

Description: A cyclic group with n elements is isomorphic to ZZ / n ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygzn.b	|- B = ( Base ` G )
cygzn.n	|- N = if ( B e. Fin , ( # ` B ) , 0 )
cygzn.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
cygzn.m	|- .x. = (.g ` G )
cygzn.l	|- L = ( ZRHom ` Y )
cygzn.e	|- E = { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B }
cygzn.g	|- ( ph -> G e. CycGrp )
cygzn.x	|- ( ph -> X e. E )
cygzn.f	|- F = ran ( m e. ZZ |-> <. ( L ` m ) , ( m .x. X ) >. )

Assertion

Ref	Expression
cygznlem3	|- ( ph -> G ~=g𝑔 Y )

Distinct variable groups:   m, n, x, B   m, G, n, x   .x. , m, n, x   m, Y, n, x   m, L, n, x   x, N   ph, m   n, F, x   m, X, n, x

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   E( x, m, n)   F( m)   N( m, n)

Proof of Theorem cygznlem3

Dummy variables a b i j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
2		cygzn.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5		cygzn.n	. . . . . 6 |- N = if ( B e. Fin , ( # ` B ) , 0 )
6		hashcl 13147	. . . . . . . 8 |- ( B e. Fin -> ( # ` B ) e. NN0 )
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
8		0nn0 11307	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. B e. Fin ) -> 0 e. NN0 )
10	7, 9	ifclda 4120	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( B e. Fin , ( # ` B ) , 0 ) e. NN0 )
11	5, 10	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
12		cygzn.y	. . . . . 6 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
13	12	zncrng 19893	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
14		crngring 18558	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
15		ringgrp 18552	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> Y e. Grp )
16	11, 13, 14, 15	4syl 19	. . . 4 |- ( ph -> Y e. Grp )
17		cygzn.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. CycGrp )
18		cyggrp 18291	. . . . 5 |- ( G e. CycGrp -> G e. Grp )
19	17, 18	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
20		cygzn.m	. . . . 5 |- .x. = (.g ` G )
21		cygzn.l	. . . . 5 |- L = ( ZRHom ` Y )
22		cygzn.e	. . . . 5 |- E = { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B }
23		cygzn.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. E )
24		cygzn.f	. . . . 5 |- F = ran ( m e. ZZ |-> <. ( L ` m ) , ( m .x. X ) >. )
25	2, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24	cygznlem2a 19916	. . . 4 |- ( ph -> F : ( Base ` Y ) --> B )
26	12, 1, 21	znzrhfo 19896	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
27	11, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
28		foelrn 6378	. . . . . . 7 |- ( ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> E. i e. ZZ a = ( L ` i ) )
29	27, 28	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> E. i e. ZZ a = ( L ` i ) )
30		foelrn 6378	. . . . . . 7 |- ( ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) -> E. j e. ZZ b = ( L ` j ) )
31	27, 30	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( Base ` Y ) ) -> E. j e. ZZ b = ( L ` j ) )
32	29, 31	anim12dan 882	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. i e. ZZ a = ( L ` i ) /\ E. j e. ZZ b = ( L ` j ) ) )
33		reeanv 3107	. . . . . . 7 |- ( E. i e. ZZ E. j e. ZZ ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) <-> ( E. i e. ZZ a = ( L ` i ) /\ E. j e. ZZ b = ( L ` j ) ) )
34	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> G e. Grp )
35		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> i e. ZZ )
36		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> j e. ZZ )
37	2, 20, 22	iscyggen 18282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. E <-> ( X e. B /\ ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. X ) ) = B ) )
38	37	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. E -> X e. B )
39	23, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. B )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> X e. B )
41	2, 20, 4	mulgdir 17573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( i + j ) .x. X ) = ( ( i .x. X ) ( +g ` G ) ( j .x. X ) ) )
42	34, 35, 36, 40, 41	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( ( i + j ) .x. X ) = ( ( i .x. X ) ( +g ` G ) ( j .x. X ) ) )
43	11, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. CRing )
44	21	zrhrhm 19860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
45		rhmghm 18725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L e. (ℤring GrpHom Y ) )
46	43, 14, 44, 45	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L e. (ℤring GrpHom Y ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> L e. (ℤring GrpHom Y ) )
48		zringbas 19824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
49		zringplusg 19825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- + = ( +g ` ℤring )
50	48, 49, 3	ghmlin 17665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. (ℤring GrpHom Y ) /\ i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( L ` ( i + j ) ) = ( ( L ` i ) ( +g ` Y ) ( L ` j ) ) )
51	47, 35, 36, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( L ` ( i + j ) ) = ( ( L ` i ) ( +g ` Y ) ( L ` j ) ) )
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( F ` ( L ` ( i + j ) ) ) = ( F ` ( ( L ` i ) ( +g ` Y ) ( L ` j ) ) ) )
53		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( i + j ) e. ZZ )
54	2, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24	cygznlem2 19917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i + j ) e. ZZ ) -> ( F ` ( L ` ( i + j ) ) ) = ( ( i + j ) .x. X ) )
55	53, 54	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( F ` ( L ` ( i + j ) ) ) = ( ( i + j ) .x. X ) )
56	52, 55	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( F ` ( ( L ` i ) ( +g ` Y ) ( L ` j ) ) ) = ( ( i + j ) .x. X ) )
57	2, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24	cygznlem2 19917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ZZ ) -> ( F ` ( L ` i ) ) = ( i .x. X ) )
58	57	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( F ` ( L ` i ) ) = ( i .x. X ) )
59	2, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24	cygznlem2 19917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ZZ ) -> ( F ` ( L ` j ) ) = ( j .x. X ) )
60	59	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( F ` ( L ` j ) ) = ( j .x. X ) )
61	58, 60	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( ( F ` ( L ` i ) ) ( +g ` G ) ( F ` ( L ` j ) ) ) = ( ( i .x. X ) ( +g ` G ) ( j .x. X ) ) )
62	42, 56, 61	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( F ` ( ( L ` i ) ( +g ` Y ) ( L ` j ) ) ) = ( ( F ` ( L ` i ) ) ( +g ` G ) ( F ` ( L ` j ) ) ) )
63		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) = ( ( L ` i ) ( +g ` Y ) ( L ` j ) ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` Y ) b ) ) = ( F ` ( ( L ` i ) ( +g ` Y ) ( L ` j ) ) ) )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( L ` i ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( L ` i ) ) )
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( L ` j ) -> ( F ` b ) = ( F ` ( L ` j ) ) )
67	65, 66	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` G ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` ( L ` i ) ) ( +g ` G ) ( F ` ( L ` j ) ) ) )
68	64, 67	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( ( F ` ( a ( +g ` Y ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` G ) ( F ` b ) ) <-> ( F ` ( ( L ` i ) ( +g ` Y ) ( L ` j ) ) ) = ( ( F ` ( L ` i ) ) ( +g ` G ) ( F ` ( L ` j ) ) ) ) )
69	62, 68	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` Y ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` G ) ( F ` b ) ) ) )
70	69	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. i e. ZZ E. j e. ZZ ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` Y ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` G ) ( F ` b ) ) ) )
71	33, 70	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. i e. ZZ a = ( L ` i ) /\ E. j e. ZZ b = ( L ` j ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` Y ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` G ) ( F ` b ) ) ) )
72	71	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( E. i e. ZZ a = ( L ` i ) /\ E. j e. ZZ b = ( L ` j ) ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` Y ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` G ) ( F ` b ) ) )
73	32, 72	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` Y ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` G ) ( F ` b ) ) )
74	1, 2, 3, 4, 16, 19, 25, 73	isghmd 17669	. . 3 |- ( ph -> F e. ( Y GrpHom G ) )
75	58, 60	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( ( F ` ( L ` i ) ) = ( F ` ( L ` j ) ) <-> ( i .x. X ) = ( j .x. X ) ) )
76	2, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23	cygznlem1 19915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( ( L ` i ) = ( L ` j ) <-> ( i .x. X ) = ( j .x. X ) ) )
77	75, 76	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( ( F ` ( L ` i ) ) = ( F ` ( L ` j ) ) <-> ( L ` i ) = ( L ` j ) ) )
78	77	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( ( F ` ( L ` i ) ) = ( F ` ( L ` j ) ) -> ( L ` i ) = ( L ` j ) ) )
79	65, 66	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> ( F ` ( L ` i ) ) = ( F ` ( L ` j ) ) ) )
80		eqeq12 2635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( a = b <-> ( L ` i ) = ( L ` j ) ) )
81	79, 80	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) <-> ( ( F ` ( L ` i ) ) = ( F ` ( L ` j ) ) -> ( L ` i ) = ( L ` j ) ) ) )
82	78, 81	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) ) )
83	82	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. i e. ZZ E. j e. ZZ ( a = ( L ` i ) /\ b = ( L ` j ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) ) )
84	33, 83	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. i e. ZZ a = ( L ` i ) /\ E. j e. ZZ b = ( L ` j ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) ) )
85	84	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( E. i e. ZZ a = ( L ` i ) /\ E. j e. ZZ b = ( L ` j ) ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
86	32, 85	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
87	86	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ph -> A. a e. ( Base ` Y ) A. b e. ( Base ` Y ) ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
88		dff13 6512	. . . . 5 |- ( F : ( Base ` Y ) -1-1-> B <-> ( F : ( Base ` Y ) --> B /\ A. a e. ( Base ` Y ) A. b e. ( Base ` Y ) ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) ) )
89	25, 87, 88	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> F : ( Base ` Y ) -1-1-> B )
90	2, 20, 22	iscyggen2 18283	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Grp -> ( X e. E <-> ( X e. B /\ A. z e. B E. n e. ZZ z = ( n .x. X ) ) ) )
91	19, 90	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X e. E <-> ( X e. B /\ A. z e. B E. n e. ZZ z = ( n .x. X ) ) ) )
92	23, 91	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. B /\ A. z e. B E. n e. ZZ z = ( n .x. X ) ) )
93	92	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. B E. n e. ZZ z = ( n .x. X ) )
94		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( n .x. X ) = ( j .x. X ) )
95	94	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( z = ( n .x. X ) <-> z = ( j .x. X ) ) )
96	95	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. ZZ z = ( n .x. X ) <-> E. j e. ZZ z = ( j .x. X ) )
97	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
98		fof 6115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
100	99	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ j e. ZZ ) -> ( L ` j ) e. ( Base ` Y ) )
101	59	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ j e. ZZ ) -> ( F ` ( L ` j ) ) = ( j .x. X ) )
102	101	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ j e. ZZ ) -> ( j .x. X ) = ( F ` ( L ` j ) ) )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( L ` j ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( L ` j ) ) )
104	103	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( L ` j ) -> ( ( j .x. X ) = ( F ` a ) <-> ( j .x. X ) = ( F ` ( L ` j ) ) ) )
105	104	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L ` j ) e. ( Base ` Y ) /\ ( j .x. X ) = ( F ` ( L ` j ) ) ) -> E. a e. ( Base ` Y ) ( j .x. X ) = ( F ` a ) )
106	100, 102, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ j e. ZZ ) -> E. a e. ( Base ` Y ) ( j .x. X ) = ( F ` a ) )
107		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( j .x. X ) -> ( z = ( F ` a ) <-> ( j .x. X ) = ( F ` a ) ) )
108	107	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( j .x. X ) -> ( E. a e. ( Base ` Y ) z = ( F ` a ) <-> E. a e. ( Base ` Y ) ( j .x. X ) = ( F ` a ) ) )
109	106, 108	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ j e. ZZ ) -> ( z = ( j .x. X ) -> E. a e. ( Base ` Y ) z = ( F ` a ) ) )
110	109	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( E. j e. ZZ z = ( j .x. X ) -> E. a e. ( Base ` Y ) z = ( F ` a ) ) )
111	96, 110	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( E. n e. ZZ z = ( n .x. X ) -> E. a e. ( Base ` Y ) z = ( F ` a ) ) )
112	111	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. B E. n e. ZZ z = ( n .x. X ) -> A. z e. B E. a e. ( Base ` Y ) z = ( F ` a ) ) )
113	93, 112	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> A. z e. B E. a e. ( Base ` Y ) z = ( F ` a ) )
114		dffo3 6374	. . . . 5 |- ( F : ( Base ` Y ) -onto-> B <-> ( F : ( Base ` Y ) --> B /\ A. z e. B E. a e. ( Base ` Y ) z = ( F ` a ) ) )
115	25, 113, 114	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> F : ( Base ` Y ) -onto-> B )
116		df-f1o 5895	. . . 4 |- ( F : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> B <-> ( F : ( Base ` Y ) -1-1-> B /\ F : ( Base ` Y ) -onto-> B ) )
117	89, 115, 116	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> F : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> B )
118	1, 2	isgim 17704	. . 3 |- ( F e. ( Y GrpIso G ) <-> ( F e. ( Y GrpHom G ) /\ F : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> B ) )
119	74, 117, 118	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> F e. ( Y GrpIso G ) )
120		brgici 17712	. 2 |- ( F e. ( Y GrpIso G ) -> Y ~=g𝑔 G )
121		gicsym 17716	. 2 |- ( Y ~=g𝑔 G -> G ~=g𝑔 Y )
122	119, 120, 121	3syl 18	1 |- ( ph -> G ~=g𝑔 Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   #chash 13117   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   GrpHom cghm 17657   GrpIso cgim 17699   ~=g_𝑔 cgic 17700  CycGrpccyg 18279   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-gic 17702  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-cyg 18280  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  cygzn  19919