Theorem dchrmusumlema 25182

Description: Lemma for dchrmusum 25213 and dchrisumn0 25210. Apply dchrisum 25181 for the function 1 / y. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisumn0.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrmusumlema	|- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , F ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) )

Distinct variable groups:   t, c, y, .1.   F, c, t, y   a, c, t, y   N, c, t, y   ph, c, t   y, Z   D, c, t, y   L, a, c, t, y   X, a, c, t, y

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   D( a)   .1. ( a)   F( a)   G( y, t, a, c)   N( a)   Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrmusumlema

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
2		rpvmasum.l	. . 3 |- L = ( ZRHom ` Z )
3		rpvmasum.a	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
4		rpvmasum.g	. . 3 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum.d	. . 3 |- D = ( Base ` G )
6		rpvmasum.1	. . 3 |- .1. = ( 0g ` G )
7		dchrisum.b	. . 3 |- ( ph -> X e. D )
8		dchrisum.n1	. . 3 |- ( ph -> X =/= .1. )
9		oveq2 6658	. . 3 |- ( n = x -> ( 1 / n ) = ( 1 / x ) )
10		1nn 11031	. . . 4 |- 1 e. NN
11	10	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. NN )
12		rpreccl 11857	. . . . 5 |- ( n e. RR+ -> ( 1 / n ) e. RR+ )
13	12	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
14	13	rpred 11872	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> ( 1 / n ) e. RR )
15		simp3r 1090	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( 1 <_ n /\ n <_ x ) ) -> n <_ x )
16		rpregt0 11846	. . . . . 6 |- ( n e. RR+ -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
17		rpregt0 11846	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
18		lerec 10906	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. RR /\ 0 < n ) /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( n <_ x <-> ( 1 / x ) <_ ( 1 / n ) ) )
19	16, 17, 18	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) -> ( n <_ x <-> ( 1 / x ) <_ ( 1 / n ) ) )
20	19	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( 1 <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( n <_ x <-> ( 1 / x ) <_ ( 1 / n ) ) )
21	15, 20	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( 1 <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( 1 / x ) <_ ( 1 / n ) )
22		ax-1cn 9994	. . . 4 |- 1 e. CC
23		divrcnv 14584	. . . 4 |- ( 1 e. CC -> ( n e. RR+ |-> ( 1 / n ) ) ~~> r 0 )
24	22, 23	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> ( 1 / n ) ) ~~> r 0 )
25		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( a = n -> ( L ` a ) = ( L ` n ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( a = n -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` n ) ) )
27		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = n -> ( 1 / a ) = ( 1 / n ) )
28	26, 27	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( a = n -> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) = ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( 1 / n ) ) )
29	28	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( 1 / n ) ) )
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 29	dchrisum 25181	. 2 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ~~> t /\ A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. ( 1 / x ) ) ) )
31	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. D )
32		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
34	4, 1, 5, 2, 31, 33	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
35		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> n e. CC )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. CC )
37		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n =/= 0 )
39	34, 36, 38	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( 1 / n ) ) )
40	39	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( 1 / n ) ) ) )
41		dchrisumn0.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
42		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = n -> a = n )
43	26, 42	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = n -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) )
44	43	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) )
45	41, 44	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- F = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) )
46	40, 45, 29	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) -> F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) )
48	47	seqeq3d 12809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) -> seq 1 ( + , F ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) )
49	48	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( seq 1 ( + , F ) ~~> t <-> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ~~> t ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` x ) )
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
52	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) )
54		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( c / y ) = ( c / x ) )
55	53, 54	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c / x ) ) )
56	55	cbvralv 3171	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) <-> A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c / x ) )
57	46	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) )
58	57	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) )
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) = ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) )
60	59	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) )
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) )
62		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 0 <_ c ) )
63	62	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( 0 [,) +oo ) -> c e. RR )
64	63	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ( 0 [,) +oo ) -> c e. CC )
65	64	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> c e. CC )
66		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
67		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
69	68	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> x e. RR )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> x e. RR )
71	70	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> x e. CC )
72		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
73		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
74		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < 1 )
76	68	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> 1 <_ x )
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
78	72, 73, 70, 75, 77	ltletrd 10197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < x )
79	78	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
80	65, 71, 79	divrecd 10804	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( c / x ) = ( c x. ( 1 / x ) ) )
81	61, 80	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c / x ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. ( 1 / x ) ) ) )
82	81	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c / x ) <-> A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. ( 1 / x ) ) ) )
83	56, 82	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) <-> A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. ( 1 / x ) ) ) )
84	49, 83	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) <-> ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ~~> t /\ A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. ( 1 / x ) ) ) ) )
85	84	rexbidva 3049	. . 3 |- ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , F ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) <-> E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ~~> t /\ A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. ( 1 / x ) ) ) ) )
86	85	exbidv 1850	. 2 |- ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , F ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) <-> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ~~> t /\ A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( 1 / a ) ) ) ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. ( 1 / x ) ) ) ) )
87	30, 86	mpbird 247	1 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , F ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   RR+crp 11832   [,)cico 12177   |_cfl 12591   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-phi 15471  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  25201  dchrisum0re  25202  dchrisum0lem3  25208  dchrmusum  25213  dchrvmasum  25214