Theorem dchrvmaeq0 25193

Description: The set W is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum sum_ n e. NN , X ( n ) / n is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasumif.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrvmasumif.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasumif.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrvmasumif.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / y ) )
dchrvmaeq0.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
dchrvmaeq0	|- ( ph -> ( X e. W <-> S = 0 ) )

Distinct variable groups:   y, m, .1.   C, m, y   y, F   m, a, y   m, N, y   ph, m   S, m, y   m, Z, y   D, m, y   L, a, m, y   X, a, m, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a)   S( a)   .1. ( a)   F( a)   G( y, m, a)   N( a)   W( y, m, a)   Z( a)

Proof of Theorem dchrvmaeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrisum.b	. . . 4 |- ( ph -> X e. D )
2		dchrisum.n1	. . . 4 |- ( ph -> X =/= .1. )
3		eldifsn 4317	. . . 4 |- ( X e. ( D \ { .1. } ) <-> ( X e. D /\ X =/= .1. ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
5		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( y ` ( L ` m ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
6	5	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
7	6	sumeq2sdv 14435	. . . . . 6 |- ( y = X -> sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = sum_ m e. NN ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
8	7	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( y = X -> ( sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 <-> sum_ m e. NN ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 ) )
9		dchrvmaeq0.w	. . . . 5 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
10	8, 9	elrab2 3366	. . . 4 |- ( X e. W <-> ( X e. ( D \ { .1. } ) /\ sum_ m e. NN ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 ) )
11	10	baib 944	. . 3 |- ( X e. ( D \ { .1. } ) -> ( X e. W <-> sum_ m e. NN ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 ) )
12	4, 11	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( X e. W <-> sum_ m e. NN ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 ) )
13		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
14		1zzd 11408	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
15		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
17		id 22	. . . . . . 7 |- ( a = m -> a = m )
18	16, 17	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
19		dchrvmasumif.f	. . . . . 6 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
20		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. _V
21	18, 19, 20	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
22	21	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
23		rpvmasum.g	. . . . . 6 |- G = (DChr ` N )
24		rpvmasum.z	. . . . . 6 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
25		rpvmasum.d	. . . . . 6 |- D = ( Base ` G )
26		rpvmasum.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` Z )
27	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
28		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
29	28	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
30	23, 24, 25, 26, 27, 29	dchrzrhcl 24970	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
31		nncn 11028	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> m e. CC )
32	31	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
33		nnne0 11053	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
34	33	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
35	30, 32, 34	divcld 10801	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
36		dchrvmasumif.s	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
37	13, 14, 22, 35, 36	isumclim 14488	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. NN ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = S )
38	37	eqeq1d 2624	. 2 |- ( ph -> ( sum_ m e. NN ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 <-> S = 0 ) )
39	12, 38	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( X e. W <-> S = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   [,)cico 12177   |_cfl 12591   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  25201  dchrisum0re  25202  dchrisum0lem2  25207  dchrisumn0  25210