Theorem dchrisum0re 25202

Description: Suppose X is a non-principal Dirichlet character with sum_ n e. NN , X ( n ) / n = 0. Then X is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0re	|- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )

Distinct variable groups:   y, m, .1.   m, N, y   ph, m   m, Z, y   D, m, y   m, L, y   m, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   G( y, m)   W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0re

Dummy variables k n x f c t a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum2.g	. . . 4 |- G = (DChr ` N )
2		rpvmasum.z	. . . 4 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
3		rpvmasum2.d	. . . 4 |- D = ( Base ` G )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
5		rpvmasum2.w	. . . . . . 7 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
6		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
7	5, 6	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- W C_ ( D \ { .1. } )
8		dchrisum0.b	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. W )
9	7, 8	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
10	9	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> X e. D )
11	1, 2, 3, 4, 10	dchrf 24967	. . 3 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> CC )
12	11	ffnd 6046	. 2 |- ( ph -> X Fn ( Base ` Z ) )
13	11	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Z ) ) -> ( X ` x ) e. CC )
14		fvco3 6275	. . . . . 6 |- ( ( X : ( Base ` Z ) --> CC /\ x e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( * o. X ) ` x ) = ( * ` ( X ` x ) ) )
15	11, 14	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( * o. X ) ` x ) = ( * ` ( X ` x ) ) )
16		logno1 24382	. . . . . . . 8 |- -. ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) e. O(1)
17		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) -> 1 e. RR )
18		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = ( ZRHom ` Z )
19		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
20		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- .1. = ( 0g ` G )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Unit ` Z ) = (Unit ` Z )
22	19	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
23	2	zncrng 19893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Z e. CRing )
25		crngring 18558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Z e. Ring )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1r ` Z ) = ( 1r ` Z )
28	21, 27	1unit 18658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. Ring -> ( 1r ` Z ) e. (Unit ` Z ) )
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1r ` Z ) e. (Unit ` Z ) )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) = ( `' L " { ( 1r ` Z ) } )
31		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. W ) -> ( 1r ` Z ) = ( 1r ` Z ) )
32	2, 18, 19, 1, 3, 20, 5, 21, 29, 30, 31	rpvmasum2 25201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) ) e. O(1) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) ) e. O(1) )
34	19	phicld 15477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. NN )
35	34	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. NN0 )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( phi ` N ) e. NN0 )
37	36	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( phi ` N ) e. RR )
38		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
39		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) )
40		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) e. Fin )
41	38, 39, 40	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) e. Fin )
42		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
43		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
45	42, 44	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ) -> n e. NN )
46		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
47		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (Λ ` n ) e. RR /\ n e. NN ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
48	46, 47	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
50	41, 49	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
51	37, 50	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR )
52		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
54		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
55	1, 3	dchrfi 24980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> D e. Fin )
56	19, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> D e. Fin )
57		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D \ { .1. } ) C_ D
58	7, 57	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- W C_ D
59		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. Fin /\ W C_ D ) -> W e. Fin )
60	56, 58, 59	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> W e. Fin )
61		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W e. Fin -> ( # ` W ) e. NN0 )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( # ` W ) e. NN0 )
63	62	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( # ` W ) e. RR )
64		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) -> ( 1 - ( # ` W ) ) e. RR )
65	54, 63, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 - ( # ` W ) ) e. RR )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 - ( # ` W ) ) e. RR )
67	53, 66	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) e. RR )
68	51, 67	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) e. RR )
69	68	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) e. CC )
70	69	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) e. CC )
71	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
72	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. CC )
73	52	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
74	67	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) e. RR )
75	73, 74	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) + ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) e. RR )
76		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 e. RR )
77	51	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR )
78		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 2 e. RR )
80	63	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( # ` W ) e. RR )
81	79, 80	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 2 - ( # ` W ) ) e. RR )
82		log1 24332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( log ` 1 ) = 0
83		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
84		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR+
85		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
86		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR+ /\ x e. RR+ ) -> ( 1 <_ x <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` x ) ) )
87	84, 85, 86	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 <_ x <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` x ) ) )
88	83, 87	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` x ) )
89	82, 88	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
90		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( * o. X ) =/= X )
91		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
92	1, 3, 10, 91	dchrinv 24986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) ` X ) = ( * o. X ) )
93	1	dchrabl 24979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> G e. Abel )
94	19, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> G e. Abel )
95		ablgrp 18198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> G e. Grp )
97	3, 91	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G e. Grp /\ X e. D ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. D )
98	96, 10, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. D )
99	92, 98	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( * o. X ) e. D )
100		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( X e. ( D \ { .1. } ) -> X =/= .1. )
101	9, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> X =/= .1. )
102	3, 20	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( G e. Grp -> .1. e. D )
103	96, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> .1. e. D )
104	3, 91, 96, 10, 103	grpinv11 17484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) = ( ( invg ` G ) ` .1. ) <-> X = .1. ) )
105	104	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) =/= ( ( invg ` G ) ` .1. ) <-> X =/= .1. ) )
106	101, 105	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) ` X ) =/= ( ( invg ` G ) ` .1. ) )
107	20, 91	grpinvid 17476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .1. ) = .1. )
108	96, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) ` .1. ) = .1. )
109	106, 92, 108	3netr3d 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( * o. X ) =/= .1. )
110		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( * o. X ) e. ( D \ { .1. } ) <-> ( ( * o. X ) e. D /\ ( * o. X ) =/= .1. ) )
111	99, 109, 110	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( * o. X ) e. ( D \ { .1. } ) )
112		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
113		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = m -> ( L ` n ) = ( L ` m ) )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = m -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
116		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = m -> n = m )
117	115, 116	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = m -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
118	117	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = m -> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
119		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) )
120		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. _V
121	118, 119, 120	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ` m ) = ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ` m ) = ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
123		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. NN -> m e. RR )
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR )
125	124	cjred 13966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( * ` m ) = m )
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( * ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( * ` m ) ) = ( ( * ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / m ) )
127	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X : ( Base ` Z ) --> CC )
128	2, 4, 18	znzrhfo 19896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
129	22, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
130		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
132		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
133		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ m e. ZZ ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
134	131, 132, 133	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
135	127, 134	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
136		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m e. NN -> m e. CC )
137	136	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
138		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
139	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
140	135, 137, 139	cjdivd 13963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( * ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( * ` m ) ) )
141		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( X : ( Base ` Z ) --> CC /\ ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) = ( * ` ( X ` ( L ` m ) ) ) )
142	127, 134, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) = ( * ` ( X ` ( L ` m ) ) ) )
143	142	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( * ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / m ) )
144	126, 140, 143	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) / m ) )
145	122, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ` m ) = ( ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) / m ) )
146	135	cjcld 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( * ` ( X ` ( L ` m ) ) ) e. CC )
147	146, 137, 139	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( * ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / m ) e. CC )
148	143, 147	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
149		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
150	2, 18, 19, 1, 3, 20, 10, 101, 149	dchrmusumlema 25182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) )
151		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t )
152	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> X e. W )
153	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> N e. NN )
154	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> X e. D )
155	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> X =/= .1. )
156		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> c e. ( 0 [,) +oo ) )
157		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) )
158	2, 18, 153, 1, 3, 20, 154, 155, 149, 156, 151, 157, 5	dchrvmaeq0 25193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> ( X e. W <-> t = 0 ) )
159	152, 158	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> t = 0 )
160	151, 159	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> 0 )
161	160	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> 0 ) )
162	161	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> 0 ) )
163	150, 162	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> 0 )
164		seqex 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ) e. _V
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ) e. _V )
166		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
167	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
168		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( a = m -> a = m )
169	167, 168	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
170		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. _V
171	169, 149, 170	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( m e. NN -> ( ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
173	135, 137, 139	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
174	172, 173	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ` m ) e. CC )
175	112, 113, 174	serf 12829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) : NN --> CC )
176	175	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` k ) e. CC )
177		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
178		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ph )
179		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ( 1 ... k ) -> m e. NN )
180	178, 179, 173	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
181	177, 180	fsumcj 14542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( * ` sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... k ) ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
182	178, 179, 172	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
183		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
184	183, 112	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
185	182, 184, 180	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` k ) )
186	185	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( * ` sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( * ` ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` k ) ) )
187	178, 179, 122	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ` m ) = ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
188	173	cjcld 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC )
189	178, 179, 188	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC )
190	187, 184, 189	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( * ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ) ` k ) )
191	181, 186, 190	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ) ` k ) = ( * ` ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` k ) ) )
192	112, 163, 165, 113, 176, 191	climcj 14335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ) ~~> ( * ` 0 ) )
193		cj0 13898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( * ` 0 ) = 0
194	192, 193	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( * ` ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) ) ) ~~> 0 )
195	112, 113, 145, 148, 194	isumclim 14488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> sum_ m e. NN ( ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 )
196		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = ( * o. X ) -> ( y ` ( L ` m ) ) = ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) )
197	196	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = ( * o. X ) -> ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) / m ) )
198	197	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = ( * o. X ) -> sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = sum_ m e. NN ( ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) / m ) )
199	198	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( * o. X ) -> ( sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 <-> sum_ m e. NN ( ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 ) )
200	199, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( * o. X ) e. W <-> ( ( * o. X ) e. ( D \ { .1. } ) /\ sum_ m e. NN ( ( ( * o. X ) ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 ) )
201	111, 195, 200	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( * o. X ) e. W )
202	201	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( * o. X ) e. W )
203	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> X e. W )
204		hashprg 13182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( * o. X ) e. W /\ X e. W ) -> ( ( * o. X ) =/= X <-> ( # ` { ( * o. X ) , X } ) = 2 ) )
205	202, 203, 204	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( * o. X ) =/= X <-> ( # ` { ( * o. X ) , X } ) = 2 ) )
206	90, 205	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( # ` { ( * o. X ) , X } ) = 2 )
207	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> W e. Fin )
208	202, 203	prssd 4354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> { ( * o. X ) , X } C_ W )
209		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( W e. Fin -> ( { ( * o. X ) , X } C_ W -> { ( * o. X ) , X } ~<_ W ) )
210	207, 208, 209	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> { ( * o. X ) , X } ~<_ W )
211		hashdomi 13169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { ( * o. X ) , X } ~<_ W -> ( # ` { ( * o. X ) , X } ) <_ ( # ` W ) )
212	210, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( # ` { ( * o. X ) , X } ) <_ ( # ` W ) )
213	206, 212	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 2 <_ ( # ` W ) )
214		suble0 10542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) -> ( ( 2 - ( # ` W ) ) <_ 0 <-> 2 <_ ( # ` W ) ) )
215	78, 80, 214	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( 2 - ( # ` W ) ) <_ 0 <-> 2 <_ ( # ` W ) ) )
216	213, 215	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 2 - ( # ` W ) ) <_ 0 )
217	81, 76, 73, 89, 216	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) x. ( 2 - ( # ` W ) ) ) <_ ( ( log ` x ) x. 0 ) )
218		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 = ( 1 + 1 )
219	218	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 - ( # ` W ) ) = ( ( 1 + 1 ) - ( # ` W ) )
220		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. CC )
221	80	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( # ` W ) e. CC )
222	220, 220, 221	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( 1 + 1 ) - ( # ` W ) ) = ( 1 + ( 1 - ( # ` W ) ) ) )
223	219, 222	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 2 - ( # ` W ) ) = ( 1 + ( 1 - ( # ` W ) ) ) )
224	223	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) x. ( 2 - ( # ` W ) ) ) = ( ( log ` x ) x. ( 1 + ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) )
225	72	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
226	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( # ` W ) ) e. RR )
227	226	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( # ` W ) ) e. CC )
228	225, 220, 227	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) x. ( 1 + ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) = ( ( ( log ` x ) x. 1 ) + ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) )
229	225	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) x. 1 ) = ( log ` x ) )
230	229	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) x. 1 ) + ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) = ( ( log ` x ) + ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) )
231	224, 228, 230	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) x. ( 2 - ( # ` W ) ) ) = ( ( log ` x ) + ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) )
232	225	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) x. 0 ) = 0 )
233	217, 231, 232	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) + ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) <_ 0 )
234	34	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. RR )
235	234	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( phi ` N ) e. RR )
236	50	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
237	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( phi ` N ) e. NN0 )
238	237	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 <_ ( phi ` N ) )
239	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
240		vmage0 24847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
241	45, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
242	45	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ) -> n e. RR )
243	45	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ) -> 0 < n )
244		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( (Λ ` n ) e. RR /\ 0 <_ (Λ ` n ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
245	239, 241, 242, 243, 244	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
246	41, 49, 245	fsumge0 14527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
247	246	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
248	235, 236, 238, 247	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 <_ ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) )
249	75, 76, 77, 233, 248	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) + ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) <_ ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) )
250		leaddsub 10504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( log ` x ) e. RR /\ ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) e. RR /\ ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR ) -> ( ( ( log ` x ) + ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) <_ ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) <-> ( log ` x ) <_ ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) ) )
251	73, 74, 77, 250	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) + ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) <_ ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) <-> ( log ` x ) <_ ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) ) )
252	249, 251	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` x ) <_ ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) )
253	73, 89	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
254	68	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) e. RR )
255	76, 73, 254, 89, 252	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 <_ ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) )
256	254, 255	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) ) = ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) )
257	252, 253, 256	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( log ` x ) ) <_ ( abs ` ( ( ( phi ` N ) x. sum_ n e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( `' L " { ( 1r ` Z ) } ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( log ` x ) x. ( 1 - ( # ` W ) ) ) ) ) )
258	17, 33, 70, 72, 257	o1le 14383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( * o. X ) =/= X ) -> ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) e. O(1) )
259	258	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( * o. X ) =/= X -> ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) e. O(1) ) )
260	259	necon1bd 2812	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) e. O(1) -> ( * o. X ) = X ) )
261	16, 260	mpi 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( * o. X ) = X )
262	261	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Z ) ) -> ( * o. X ) = X )
263	262	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( * o. X ) ` x ) = ( X ` x ) )
264	15, 263	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Z ) ) -> ( * ` ( X ` x ) ) = ( X ` x ) )
265	13, 264	cjrebd 13942	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Z ) ) -> ( X ` x ) e. RR )
266	265	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` Z ) ( X ` x ) e. RR )
267		ffnfv 6388	. 2 |- ( X : ( Base ` Z ) --> RR <-> ( X Fn ( Base ` Z ) /\ A. x e. ( Base ` Z ) ( X ` x ) e. RR ) )
268	12, 266, 267	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   #chash 13117   *ccj 13836   abscabs 13974   ~~> cli 14215   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   phicphi 15469   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   Abelcabl 18194   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Unitcui 18639   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   logclog 24301  Λcvma 24818  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-od 17948  df-gex 17949  df-pgp 17950  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-cyg 18280  df-dprd 18394  df-dpj 18395  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-mu 24827  df-dchr 24958

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