Theorem dchrisum0lem2 25207

Description: Lemma for dchrisum0 25209. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )
dchrisum0lem2.k	|- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrisum0lem2.e	|- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0lem2.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
dchrisum0lem2.3	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   E, d, m, x, y   m, K, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   T, d, m, x, y   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   T( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   E( a)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   K( x, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 11093	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
2		rpcn 11841	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
3	2	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
4		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
5		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
6		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
7		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
8		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
9		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
10		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
11	9, 10	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
12		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
13	11, 12	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
14	13	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
16		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. ZZ )
18	5, 6, 7, 8, 15, 17	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
19		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
20	19	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
22	21	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. CC )
23	21	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m =/= 0 )
24	18, 22, 23	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
25	4, 24	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
26	3, 25	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC )
27		rpssre 11843	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
28		2cn 11091	. . . . 5 |- 2 e. CC
29		o1const 14350	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
30	27, 28, 29	mp2an 708	. . . 4 |- ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1)
31	30	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
32	27	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
33		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
34		dchrisum0lem2.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
35		elrege0 12278	. . . . . 6 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( E e. RR /\ 0 <_ E ) )
36	35	simplbi 476	. . . . 5 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) -> E e. RR )
37	34, 36	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
38	3, 25	absmuld 14193	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
39		rprege0 11847	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
41		absid 14036	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` x ) = x )
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
44	38, 43	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
45	44	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
46	25	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
47	46	subid1d 10381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
48	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> a = m )
52	50, 51	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
53		dchrisum0lem2.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
54		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) e. _V
55	52, 53, 54	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
57	56	adantlrr 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
58		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
59	58	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
60	59	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
61		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
62		flge1nn 12622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
63	60, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
64		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
65	63, 64	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66	24	adantlrr 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
67	57, 65, 66	fsumser 14461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
68		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
69		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .1. = ( 0g ` G )
70		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. ( D \ { .1. } ) -> X =/= .1. )
71	13, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X =/= .1. )
72		dchrisum0lem2.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
73		dchrisum0lem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
74	6, 8, 68, 5, 7, 69, 14, 71, 53, 34, 72, 73, 9	dchrvmaeq0 25193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X e. W <-> T = 0 ) )
75	12, 74	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T = 0 )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> T = 0 )
77	76	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 = T )
78	67, 77	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
79	47, 78	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
81		1re 10039	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
82		elicopnf 12269	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
84	60, 61, 83	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. ( 1 [,) +oo ) )
85	73	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` x ) )
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
90		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( E / y ) = ( E / x ) )
91	89, 90	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
92	91	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
93	84, 85, 92	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) )
94	80, 93	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) )
95	46	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR )
96	37	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> E e. RR )
97		lemuldiv2 10904	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR /\ E e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
98	95, 96, 59, 97	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
99	94, 98	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
100	45, 99	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
101	32, 26, 33, 37, 100	elo1d 14267	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. O(1) )
102	1, 26, 31, 101	o1mul2 14355	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O(1) )
103		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. Fin )
104	21	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
105	104	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
106	104	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
107	18, 105, 106	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
108	107	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
109		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
110	109	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. NN )
111	110	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. RR+ )
112	111	rpsqrtcld 14150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
113	112	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
114	112	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
115	108, 113, 114	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
116	103, 115	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
117	4, 116	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
118		mulcl 10020	. . . 4 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
119	28, 26, 118	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
120		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
121		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
122		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
123		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
124	121, 122, 123	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
125		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
126	124, 20, 125	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
127	126	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR+ )
128	127	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
129		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
130	120, 128, 129	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
131	130	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
132	107, 131	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. CC )
133	4, 116, 132	fsumsub 14520	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
134	112	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
135		reccl 10692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
137	103, 136	fsumcl 14464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
138	107, 137, 131	subdid 10486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
139		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
141	140	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
143	142	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 2 x. ( sqr ` y ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
144	141, 143	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
145		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
146		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) e. _V
147	144, 145, 146	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
148	126, 147	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
150	108, 113, 114	divrecd 10804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
151	150	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
152	103, 107, 136	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
153	151, 152	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
155	138, 149, 154	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
156	155	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
157		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
158	28, 3, 157	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
159	4, 158, 24	fsummulc2 14516	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
160	1, 3, 25	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
161	158	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
162	161, 107, 105, 106	div12d 10837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
163	104	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
164		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X ` ( L ` m ) ) e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
165	18, 163, 163, 164	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
166	21	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( m e. RR /\ 0 <_ m ) )
167		remsqsqrt 13997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
169	168	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
170	165, 169	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
171	170	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
172	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
173	172	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
174		sqrtdiv 14006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
175	173, 21, 174	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
176	39	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
177		sqrtsq 14010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
178	176, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
179	178	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
180	175, 179	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
181	180	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
182		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
183	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
184		divass 10703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
185	182, 183, 163, 184	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
186	181, 185	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) )
187	186	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
188	162, 171, 187	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
189	188	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
190	159, 160, 189	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
191	190	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
192	133, 156, 191	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) )
193	192	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) )
194		dchrisum0lem1.f	. . . . 5 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
195		dchrisum0.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
196		dchrisum0.s	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
197		dchrisum0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
198		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
199	6, 8, 68, 5, 7, 69, 9, 12, 194, 195, 196, 197, 145, 198	dchrisum0lem2a 25206	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )
200	193, 199	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) e. O(1) )
201	117, 119, 200	o1dif 14360	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O(1) ) )
202	102, 201	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  25208