Theorem elqaalem1 24074

Description: Lemma for elqaa 24077. The function N represents the denominators of the rational coefficients B. By multiplying them all together to make R, we get a number big enough to clear all the denominators and make R x. F an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	|- ( ph -> A e. CC )
elqaa.2	|- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) )
elqaa.3	|- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
elqaa.4	|- B = (coeff ` F )
elqaa.5	|- N = ( k e. NN0 |-> inf ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
elqaa.6	|- R = ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) )

Assertion

Ref	Expression
elqaalem1	|- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( ( N ` K ) e. NN /\ ( ( B ` K ) x. ( N ` K ) ) e. ZZ ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, k, n   ph, k   k, K, n   k, N, n   R, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   R( n)   F( k, n)

Proof of Theorem elqaalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( B ` k ) = ( B ` K ) )
2	1	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( ( B ` k ) x. n ) = ( ( B ` K ) x. n ) )
3	2	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ <-> ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ ) )
4	3	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( k = K -> { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } = { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } )
5	4	infeq1d 8383	. . . . 5 |- ( k = K -> inf ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) = inf ( { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
6		elqaa.5	. . . . 5 |- N = ( k e. NN0 |-> inf ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
7		ltso 10118	. . . . . 6 |- < Or RR
8	7	infex 8399	. . . . 5 |- inf ( { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) e. _V
9	5, 6, 8	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( N ` K ) = inf ( { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
10	9	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( N ` K ) = inf ( { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
11		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } C_ NN
12		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13	11, 12	sseqtri 3637	. . . 4 |- { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } C_ ( ZZ>= ` 1 )
14		elqaa.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) )
15	14	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. (Poly ` QQ ) )
16		0z 11388	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
17		zq 11794	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 0 e. QQ
19		elqaa.4	. . . . . . . . 9 |- B = (coeff ` F )
20	19	coef2 23987	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. (Poly ` QQ ) /\ 0 e. QQ ) -> B : NN0 --> QQ )
21	15, 18, 20	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> QQ )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( B ` K ) e. QQ )
23		qmulz 11791	. . . . . 6 |- ( ( B ` K ) e. QQ -> E. n e. NN ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> E. n e. NN ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ )
25		rabn0 3958	. . . . 5 |- ( { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) <-> E. n e. NN ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ )
26	24, 25	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) )
27		infssuzcl 11772	. . . 4 |- ( ( { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) ) -> inf ( { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) e. { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } )
28	13, 26, 27	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> inf ( { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) e. { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } )
29	10, 28	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( N ` K ) e. { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } )
30		oveq2 6658	. . . 4 |- ( n = ( N ` K ) -> ( ( B ` K ) x. n ) = ( ( B ` K ) x. ( N ` K ) ) )
31	30	eleq1d 2686	. . 3 |- ( n = ( N ` K ) -> ( ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ <-> ( ( B ` K ) x. ( N ` K ) ) e. ZZ ) )
32	31	elrab 3363	. 2 |- ( ( N ` K ) e. { n e. NN | ( ( B ` K ) x. n ) e. ZZ } <-> ( ( N ` K ) e. NN /\ ( ( B ` K ) x. ( N ` K ) ) e. ZZ ) )
33	29, 32	sylib 208	1 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( ( N ` K ) e. NN /\ ( ( B ` K ) x. ( N ` K ) ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   seqcseq 12801   0pc0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946

This theorem is referenced by:  elqaalem2  24075