Theorem etransclem15 40466

Description: Value of the term T, when J = 0 and ( C ` 0 ) = P - 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem15.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem15.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem15.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
etransclem15.c	|- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
etransclem15.t	|- T = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) )
etransclem15.j	|- ( ph -> J = 0 )
etransclem15.cpm1	|- ( ph -> ( C ` 0 ) =/= ( P - 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
etransclem15	|- ( ph -> T = 0 )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j

Allowed substitution hints:   C( j)   P( j)   T( j)   J( j)   N( j)

Proof of Theorem etransclem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem15.t	. . 3 |- T = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> T = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) ) )
3		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) -> if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) = 0 )
4	3	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) = 0 )
5		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) -> if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) )
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) )
7		etransclem15.j	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J = 0 )
8	7	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) = ( 0 ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) = ( 0 ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) )
10		etransclem15.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. NN )
11	10	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. ZZ )
12		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
13	11, 12	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. ZZ )
14		etransclem15.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
15		etransclem15.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. NN0 )
16		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
17	15, 16	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
18		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
20	14, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C ` 0 ) e. ( 0 ... N ) )
21	20	elfzelzd 39530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C ` 0 ) e. ZZ )
22	13, 21	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) e. ZZ )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) e. ZZ )
24	21	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C ` 0 ) e. RR )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( C ` 0 ) e. RR )
26	13	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. RR )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) )
29	25, 27, 28	nltled 10187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( C ` 0 ) <_ ( P - 1 ) )
30		etransclem15.cpm1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C ` 0 ) =/= ( P - 1 ) )
31	30	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P - 1 ) =/= ( C ` 0 ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( P - 1 ) =/= ( C ` 0 ) )
33	25, 27, 29, 32	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( C ` 0 ) < ( P - 1 ) )
34	25, 27	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ( C ` 0 ) < ( P - 1 ) <-> 0 < ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) )
35	33, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> 0 < ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) )
36		elnnz 11387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) e. NN <-> ( ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) e. ZZ /\ 0 < ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) )
37	23, 35, 36	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) e. NN )
38	37	0expd 13024	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( 0 ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) = 0 )
39	9, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) = 0 )
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) = ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. 0 ) )
41		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
42	10, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
43	42	faccld 13071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. NN )
44	43	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
46	37	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) e. NN0 )
47	46	faccld 13071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) e. NN )
48	47	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) e. CC )
49	47	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) =/= 0 )
50	45, 48, 49	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) e. CC )
51	50	mul01d 10235	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. 0 ) = 0 )
52	6, 40, 51	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) ) -> if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) = 0 )
53	4, 52	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) = 0 )
54	53	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) = ( 0 x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) )
55	7, 19	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
56	10, 14, 55	etransclem7 40458	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
57	56	zcnd 11483	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. CC )
58	57	mul02d 10234	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) = 0 )
59	54, 58	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) = 0 )
60	59	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. 0 ) )
61		etransclem15.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
62	61	faccld 13071	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. NN )
63	62	nncnd 11036	. . . 4 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. CC )
64		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
65		fzssnn0 39533	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... N ) C_ NN0
66	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( C ` j ) e. ( 0 ... N ) )
67	65, 66	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( C ` j ) e. NN0 )
68	67	faccld 13071	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( C ` j ) ) e. NN )
69	68	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( C ` j ) ) e. CC )
70	64, 69	fprodcl 14682	. . . 4 |- ( ph -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) e. CC )
71	68	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( C ` j ) ) =/= 0 )
72	64, 69, 71	fprodn0 14709	. . . 4 |- ( ph -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) =/= 0 )
73	63, 70, 72	divcld 10801	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) e. CC )
74	73	mul01d 10235	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. 0 ) = 0 )
75	2, 60, 74	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> T = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  etransclem28  40479