Theorem fprodn0 14709

Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodn0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodn0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodn0	|- ( ph -> prod_ k e. A B =/= 0 )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodn0

Dummy variables f m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 14639	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
2		prod0 14673	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = 1 )
4		ax-1ne0 10005	. . . . 5 |- 1 =/= 0
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( A = (/) -> 1 =/= 0 )
6	3, 5	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B =/= 0 )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> prod_ k e. A B =/= 0 ) )
8		prodfc 14675	. . . . . . 7 |- prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B
9		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
10		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( # ` A ) e. NN )
11		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
12		fprodn0.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
14	12, 13	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
17		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
19		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
20	18, 19	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
21	9, 10, 11, 16, 20	fprod 14671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) )
22	8, 21	syl5eqr 2670	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A B = ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) )
23		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
24	10, 23	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		fco 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> CC )
26	15, 18, 25	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> CC )
27	26	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` m ) e. CC )
28		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ m e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` m ) ) )
29	18, 28	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` m ) ) )
30	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ m e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( f ` m ) e. A )
31	30	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ m e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( f ` m ) e. A )
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f ` m ) e. A ) -> ( f ` m ) e. A )
33		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( f ` m )
34		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ph
35		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B
36	35	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC
37	34, 36	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ph -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
38		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` m ) -> B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
39	38	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
40	39	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` m ) -> ( ( ph -> B e. CC ) <-> ( ph -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) ) )
41	12	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. A -> ( ph -> B e. CC ) )
42	33, 37, 40, 41	vtoclgaf 3271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` m ) e. A -> ( ph -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
43	42	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f ` m ) e. A ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
44	13	fvmpts 6285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f ` m ) e. A /\ [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` m ) ) = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
45	32, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` m ) ) = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
46		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k 0
47	35, 46	nfne 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B =/= 0
48	34, 47	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ph -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B =/= 0 )
49	38	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` m ) -> ( B =/= 0 <-> [_ ( f ` m ) / k ]_ B =/= 0 ) )
50	49	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( f ` m ) -> ( ( ph -> B =/= 0 ) <-> ( ph -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B =/= 0 ) ) )
51		fprodn0.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B =/= 0 )
52	51	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> ( ph -> B =/= 0 ) )
53	33, 48, 50, 52	vtoclgaf 3271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` m ) e. A -> ( ph -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B =/= 0 ) )
54	53	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f ` m ) e. A ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B =/= 0 )
55	45, 54	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` m ) ) =/= 0 )
56	31, 55	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ m e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` m ) ) =/= 0 )
57	56	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` m ) ) =/= 0 )
58	29, 57	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` m ) =/= 0 )
59	24, 27, 58	prodfn0 14626	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) =/= 0 )
60	22, 59	eqnetrd 2861	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A B =/= 0 )
61	60	expr 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A B =/= 0 ) )
62	61	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A B =/= 0 ) )
63	62	expimpd 629	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A B =/= 0 ) )
64		fprodn0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
65		fz1f1o 14441	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
66	64, 65	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
67	7, 63, 66	mpjaod 396	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   [_csb 3533   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  fallfacval4  14774  absprodnn  15331  bcc0  38539  mccllem  39829  dvnprodlem2  40162  etransclem15  40466  etransclem25  40476  etransclem31  40482  etransclem32  40483  etransclem33  40484  etransclem34  40485