Theorem fldiv4p1lem1div2 12636

Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4p1lem1div2	|- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le1 10655	. . . 4 |- 1 <_ 1
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( N = 3 -> 1 <_ 1 )
3		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( N = 3 -> ( N / 4 ) = ( 3 / 4 ) )
4	3	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) )
5		3lt4 11197	. . . . . . 7 |- 3 < 4
6		3nn0 11310	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
7		4nn 11187	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
8		divfl0 12625	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 ) )
9	6, 7, 8	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( 3 < 4 <-> ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0 )
10	5, 9	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( |_ ` ( 3 / 4 ) ) = 0
11	4, 10	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 0 )
12	11	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
13		0p1e1 11132	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	12, 13	syl6eq 2672	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 1 )
15		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = ( 3 - 1 ) )
16		3m1e2 11137	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
17	15, 16	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( N = 3 -> ( N - 1 ) = 2 )
18	17	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 2 / 2 ) )
19		2div2e1 11150	. . . 4 |- ( 2 / 2 ) = 1
20	18, 19	syl6eq 2672	. . 3 |- ( N = 3 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 1 )
21	2, 14, 20	3brtr4d 4685	. 2 |- ( N = 3 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
22		uzp1 11721	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) )
23		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
24	23	leidi 10562	. . . . . 6 |- 2 <_ 2
25	24	a1i 11	. . . . 5 |- ( N = 5 -> 2 <_ 2 )
26		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( N = 5 -> ( N / 4 ) = ( 5 / 4 ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) )
28		df-5 11082	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 = ( 4 + 1 )
29	28	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 / 4 ) = ( ( 4 + 1 ) / 4 )
30		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
31		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
32		4ne0 11117	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 =/= 0
33	30, 31, 30, 32	divdiri 10782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
34	30, 32	dividi 10758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 4 / 4 ) = 1
35	34	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
36	33, 35	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 + 1 ) / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
37	29, 36	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 / 4 ) = ( 1 + ( 1 / 4 ) )
38	37	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) )
39		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
40		0le1 10551	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
41		4re 11097	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
42		4pos 11116	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 4
43		divge0 10892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
44	39, 40, 41, 42, 43	mp4an 709	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
45		1lt4 11199	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 4
46		recgt1 10919	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
47	41, 42, 46	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
48	45, 47	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 4 ) < 1
49		1z 11407	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
50	41, 32	rereccli 10790	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 4 ) e. RR
51		flbi2 12618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 1 / 4 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
52	49, 50, 51	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1 <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) )
53	44, 48, 52	mpbir2an 955	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` ( 1 + ( 1 / 4 ) ) ) = 1
54	38, 53	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( 5 / 4 ) ) = 1
55	27, 54	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = 1 )
56	55	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
57		1p1e2 11134	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = 2
58	56, 57	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) = 2 )
59		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = ( 5 - 1 ) )
60	30, 31, 28	mvrraddi 10298	. . . . . . . 8 |- ( 5 - 1 ) = 4
61	59, 60	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( N = 5 -> ( N - 1 ) = 4 )
62	61	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 4 / 2 ) )
63		4d2e2 11184	. . . . . 6 |- ( 4 / 2 ) = 2
64	62, 63	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( N = 5 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 2 )
65	25, 58, 64	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( N = 5 -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
66		eluz2 11693	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) <-> ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) )
67		zre 11381	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
68		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> N e. RR )
69	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> 4 e. RR )
70	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> 4 =/= 0 )
71	68, 69, 70	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( N / 4 ) e. RR )
72		flle 12600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N / 4 ) e. RR -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
73	67, 71, 72	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
75	71	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
76	75	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
77	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> 1 e. RR )
78	76, 71, 77	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
79	67, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
81		leadd1 10496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) ) )
83	74, 82	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) )
84		div4p1lem1div2 11287	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
85	67, 84	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
86		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
87	76, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
88		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N / 4 ) e. RR -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
89	71, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR )
90		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
91	90	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
92	87, 89, 91	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
93	67, 92	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
95		letr 10131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N / 4 ) + 1 ) /\ ( ( N / 4 ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
97	83, 85, 96	mp2and 715	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
98	97	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 6 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
99	66, 98	sylbi 207	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 6 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
100		5p1e6 11155	. . . . . 6 |- ( 5 + 1 ) = 6
101	100	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 6 )
102	99, 101	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
103	65, 102	jaoi 394	. . 3 |- ( ( N = 5 \/ N e. ( ZZ>= ` ( 5 + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
104	22, 103	syl 17	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
105	21, 104	jaoi 394	1 |- ( ( N = 3 \/ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) + 1 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  25086