Theorem hoidmvval0 40801

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0.p	|- F/ j ph
hoidmvval0.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hoidmvval0.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hoidmvval0.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
hoidmvval0.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
hoidmvval0.j	|- ( ph -> E. j e. X ( B ` j ) <_ ( A ` j ) )

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0	|- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = 0 )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, k   A, j, k   B, a, b, k   B, j   X, a, b, k, x   j, X   ph, a, b, k, x

Allowed substitution hints:   ph( j)   A( x)   B( x)   L( x, j, k, a, b)

Proof of Theorem hoidmvval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 |- ( ph -> ph )
2		hoidmvval0.j	. . 3 |- ( ph -> E. j e. X ( B ` j ) <_ ( A ` j ) )
3		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( B ` k ) = ( B ` j ) )
4		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A ` k ) = ( A ` j ) )
5	3, 4	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( B ` k ) <_ ( A ` k ) <-> ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) )
6	5	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. k e. X ( B ` k ) <_ ( A ` k ) <-> E. j e. X ( B ` j ) <_ ( A ` j ) )
7		rexn0 4074	. . . 4 |- ( E. k e. X ( B ` k ) <_ ( A ` k ) -> X =/= (/) )
8	6, 7	sylbir 225	. . 3 |- ( E. j e. X ( B ` j ) <_ ( A ` j ) -> X =/= (/) )
9	2, 8	syl 17	. 2 |- ( ph -> X =/= (/) )
10		hoidmvval0.l	. . . 4 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
11		hoidmvval0.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
12	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X e. Fin )
13		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X =/= (/) )
14		hoidmvval0.a	. . . . 5 |- ( ph -> A : X --> RR )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> A : X --> RR )
16		hoidmvval0.b	. . . . 5 |- ( ph -> B : X --> RR )
17	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> B : X --> RR )
18	10, 12, 13, 15, 17	hoidmvn0val 40798	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
19	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. j e. X ( B ` j ) <_ ( A ` j ) )
20		hoidmvval0.p	. . . . . 6 |- F/ j ph
21		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ j X =/= (/)
22	20, 21	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ j ( ph /\ X =/= (/) )
23		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ j prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0
24		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) )
25		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) )
26	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> X e. Fin )
27	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
28	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
29		volicore 40795	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
31	30	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
32	31	3ad2antl1 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
33	4, 3	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) )
35		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> j e. X )
36	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( A ` j ) e. RR )
37	36	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( A ` j ) e. RR )
38	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( B ` j ) e. RR )
39	38	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
40		volico 40200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. RR /\ ( B ` j ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) = if ( ( A ` j ) < ( B ` j ) , ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) , 0 ) )
41	37, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) = if ( ( A ` j ) < ( B ` j ) , ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) , 0 ) )
42		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( B ` j ) <_ ( A ` j ) )
43	39, 37	lenltd 10183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( ( B ` j ) <_ ( A ` j ) <-> -. ( A ` j ) < ( B ` j ) ) )
44	42, 43	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> -. ( A ` j ) < ( B ` j ) )
45	44	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> if ( ( A ` j ) < ( B ` j ) , ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) , 0 ) = 0 )
46	41, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) = 0 )
47	24, 25, 26, 32, 34, 35, 46	fprod0 39828	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 )
48	47	3adant1r 1319	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 )
49	48	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( j e. X -> ( ( B ` j ) <_ ( A ` j ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 ) ) )
50	22, 23, 49	rexlimd 3026	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. j e. X ( B ` j ) <_ ( A ` j ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 ) )
51	19, 50	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 )
52		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> 0 = 0 )
53	18, 51, 52	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = 0 )
54	1, 9, 53	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  40804  hoidmvlelem5  40813