Theorem hoidmvlelem5 40813

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. Induction step of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvlelem5.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hoidmvlelem5.f	|- ( ph -> X e. Fin )
hoidmvlelem5.y	|- ( ph -> Y C_ X )
hoidmvlelem5.z	|- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
hoidmvlelem5.w	|- W = ( Y u. { Z } )
hoidmvlelem5.a	|- ( ph -> A : W --> RR )
hoidmvlelem5.b	|- ( ph -> B : W --> RR )
hoidmvlelem5.c	|- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m W ) )
hoidmvlelem5.d	|- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m W ) )
hoidmvlelem5.i	|- ( ph -> A. e e. ( RR ^m Y ) A. f e. ( RR ^m Y ) A. g e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) A. h e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) ( X_ k e. Y ( ( e ` k ) [,) ( f ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. Y ( ( ( g ` j ) ` k ) [,) ( ( h ` j ) ` k ) ) -> ( e ( L ` Y ) f ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( g ` j ) ( L ` Y ) ( h ` j ) ) ) ) ) )
hoidmvlelem5.s	|- ( ph -> X_ k e. W ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. W ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
hoidmvlelem5.n	|- ( ph -> Y =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
hoidmvlelem5	|- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, h, j, k, x   A, e, f, g, h, j, k   B, a, b, h, j, k, x   B, f, g   C, a, b, h, j, k, x   C, g   D, a, b, h, j, k, x   D, g   L, a, b, h, j, k, x   e, L, f, g   W, a, b, h, j, k, x   g, W   Y, a, b, h, j, k, x   e, Y, f, g   Z, a, b, h, j, k, x   g, Z   ph, a, b, h, j, k, x

Allowed substitution hints:   ph( e, f, g)   B( e)   C( e, f)   D( e, f)   W( e, f)   X( x, e, f, g, h, j, k, a, b)   Z( e, f)

Proof of Theorem hoidmvlelem5

Dummy variables r s c w z i l d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ s ph
2		nfre1 3005	. . . . 5 |- F/ s E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s )
3	1, 2	nfan 1828	. . . 4 |- F/ s ( ph /\ E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) )
4		hoidmvlelem5.l	. . . 4 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
5		hoidmvlelem5.w	. . . . . 6 |- W = ( Y u. { Z } )
6		hoidmvlelem5.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. Fin )
7		hoidmvlelem5.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
8		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. Fin /\ Y C_ X ) -> Y e. Fin )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. Fin )
10		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { Z } e. Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> { Z } e. Fin )
12		unfi 8227	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. Fin /\ { Z } e. Fin ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
13	9, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
14	5, 13	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> W e. Fin )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> W e. Fin )
16		hoidmvlelem5.a	. . . . 5 |- ( ph -> A : W --> RR )
17	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> A : W --> RR )
18		hoidmvlelem5.b	. . . . 5 |- ( ph -> B : W --> RR )
19	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> B : W --> RR )
20		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) )
21	3, 4, 15, 17, 19, 20	hoidmvval0 40801	. . 3 |- ( ( ph /\ E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> ( A ( L ` W ) B ) = 0 )
22		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN e. _V )
24		icossicc 12260	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
25	14	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> W e. Fin )
26		hoidmvlelem5.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m W ) )
27	26	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. ( RR ^m W ) )
28		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( ( C ` j ) e. ( RR ^m W ) -> ( C ` j ) : W --> RR )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : W --> RR )
30		hoidmvlelem5.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m W ) )
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. ( RR ^m W ) )
32		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( ( D ` j ) e. ( RR ^m W ) -> ( D ` j ) : W --> RR )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : W --> RR )
34	4, 25, 29, 33	hoidmvcl 40796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
35	24, 34	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
36		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) )
37	35, 36	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
38	23, 37	sge0ge0 40601	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
39	38	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
40	21, 39	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ph /\ E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> ( A ( L ` W ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
41		icossxr 12258	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
42	4, 14, 16, 18	hoidmvcl 40796	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
43	41, 42	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) e. RR* )
44	43	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> ( A ( L ` W ) B ) e. RR* )
45	23, 37	sge0xrcl 40602	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* )
46	45	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* )
47		rge0ssre 12280	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
48	47, 42	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) e. RR )
49		ltpnf 11954	. . . . . . . 8 |- ( ( A ( L ` W ) B ) e. RR -> ( A ( L ` W ) B ) < +oo )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) < +oo )
51	50	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> ( A ( L ` W ) B ) < +oo )
52		id 22	. . . . . . . 8 |- ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo )
53	52	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
54	53	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
55	51, 54	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> ( A ( L ` W ) B ) < (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
56	44, 46, 55	xrltled 39486	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> ( A ( L ` W ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
57	56	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> ( A ( L ` W ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
58		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> ph )
59		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) )
60	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. W ) -> ( A ` s ) e. RR )
61	18	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. W ) -> ( B ` s ) e. RR )
62	60, 61	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. W ) -> ( ( A ` s ) < ( B ` s ) <-> -. ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) )
63	62	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) <-> A. s e. W -. ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) )
64		ralnex 2992	. . . . . . . . 9 |- ( A. s e. W -. ( B ` s ) <_ ( A ` s ) <-> -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) )
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. s e. W -. ( B ` s ) <_ ( A ` s ) <-> -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) )
66	63, 65	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) <-> -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> ( A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) <-> -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) )
68	59, 67	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) )
69	68	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) )
70		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo )
71	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> NN e. _V )
72	37	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
73	71, 72	sge0repnf 40603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) )
74	70, 73	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
75	74	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
76		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) )
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = i -> ( C ` j ) = ( C ` i ) )
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = i -> ( D ` j ) = ( D ` i ) )
79	77, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) = ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) )
80	79	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) = ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) )
81	80	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) )
82	81	eleq1i 2692	. . . . . . . . 9 |- ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR <-> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR )
83	82	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR )
84	83	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR )
85		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
86	6	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> X e. Fin )
87	7	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> Y C_ X )
88		hoidmvlelem5.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y =/= (/) )
89	88	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> Y =/= (/) )
90		hoidmvlelem5.z	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
91	90	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> Z e. ( X \ Y ) )
92	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> A : W --> RR )
93	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> B : W --> RR )
94		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = k -> ( A ` s ) = ( A ` k ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = k -> ( B ` s ) = ( B ` k ) )
96	94, 95	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = k -> ( ( A ` s ) < ( B ` s ) <-> ( A ` k ) < ( B ` k ) ) )
97	96	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) <-> A. k e. W ( A ` k ) < ( B ` k ) )
98	97	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) -> A. k e. W ( A ` k ) < ( B ` k ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) /\ k e. W ) -> A. k e. W ( A ` k ) < ( B ` k ) )
100		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) /\ k e. W ) -> k e. W )
101		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. W ( A ` k ) < ( B ` k ) /\ k e. W ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
102	99, 100, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) /\ k e. W ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
103	102	ad5ant25 1306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. W ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
104	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> C : NN --> ( RR ^m W ) )
105	30	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> D : NN --> ( RR ^m W ) )
106	82	biimpri 218	. . . . . . . . 9 |- ( (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
107	106	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
108		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = c -> ( d ` i ) = ( c ` i ) )
109	108	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = c -> ( ( d ` i ) <_ x <-> ( c ` i ) <_ x ) )
110	109, 108	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = c -> if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) = if ( ( c ` i ) <_ x , ( c ` i ) , x ) )
111	108, 110	ifeq12d 4106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = c -> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) = if ( i e. Y , ( c ` i ) , if ( ( c ` i ) <_ x , ( c ` i ) , x ) ) )
112	111	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = c -> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) = ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( c ` i ) , if ( ( c ` i ) <_ x , ( c ` i ) , x ) ) ) )
113		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( i e. Y <-> j e. Y ) )
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( c ` i ) = ( c ` j ) )
115	114	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = j -> ( ( c ` i ) <_ x <-> ( c ` j ) <_ x ) )
116	115, 114	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> if ( ( c ` i ) <_ x , ( c ` i ) , x ) = if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) )
117	113, 114, 116	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> if ( i e. Y , ( c ` i ) , if ( ( c ` i ) <_ x , ( c ` i ) , x ) ) = if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) )
118	117	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( c ` i ) , if ( ( c ` i ) <_ x , ( c ` i ) , x ) ) ) = ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = c -> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( c ` i ) , if ( ( c ` i ) <_ x , ( c ` i ) , x ) ) ) = ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) )
120	112, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( d = c -> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) = ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) )
121	120	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) )
122	121	mpteq2i 4741	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
123		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) = ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) )
124		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
125		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( w - ( A ` Z ) ) = ( z - ( A ` Z ) ) )
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) x. ( w - ( A ` Z ) ) ) = ( ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) x. ( z - ( A ` Z ) ) ) )
127		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = x -> ( ( d ` i ) <_ w <-> ( d ` i ) <_ x ) )
128		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = x -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
129		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = x -> w = x )
130	127, 128, 129	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = x -> if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) = if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) )
131	130	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = x -> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) = if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) )
132	131	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = x -> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) = ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) )
133	132	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = x -> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) = ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) )
134	133	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) )
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) )
136		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> w = z )
137	135, 136	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) = ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) )
138	137	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) = ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` l ) ) )
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) ) = ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` l ) ) ) )
140	139	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) ) ) = ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` l ) ) ) ) )
141		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = j -> ( C ` l ) = ( C ` j ) )
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = j -> ( D ` l ) = ( D ` j ) )
143	142	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = j -> ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` l ) ) = ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` j ) ) )
144	141, 143	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = j -> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` l ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` j ) ) ) )
145	144	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` l ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` j ) ) ) )
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` l ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) )
147	140, 146	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) )
148	147	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> (Σ^ ` ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) )
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
150	126, 149	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( ( ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) x. ( w - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
151	150	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 |- { w e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) x. ( w - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) ) ) ) ) } = { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( ( x e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ x , ( d ` i ) , x ) ) ) ) ) ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) }
152		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- sup ( { w e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) x. ( w - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) ) ) ) ) } , RR , < ) = sup ( { w e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) x. ( w - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( l e. NN |-> ( ( C ` l ) ( L ` W ) ( ( ( w e. RR |-> ( d e. ( RR ^m W ) |-> ( i e. W |-> if ( i e. Y , ( d ` i ) , if ( ( d ` i ) <_ w , ( d ` i ) , w ) ) ) ) ) ` w ) ` ( D ` l ) ) ) ) ) ) } , RR , < )
153		hoidmvlelem5.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. e e. ( RR ^m Y ) A. f e. ( RR ^m Y ) A. g e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) A. h e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) ( X_ k e. Y ( ( e ` k ) [,) ( f ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. Y ( ( ( g ` j ) ` k ) [,) ( ( h ` j ) ` k ) ) -> ( e ( L ` Y ) f ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( g ` j ) ( L ` Y ) ( h ` j ) ) ) ) ) )
154	153	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> A. e e. ( RR ^m Y ) A. f e. ( RR ^m Y ) A. g e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) A. h e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) ( X_ k e. Y ( ( e ` k ) [,) ( f ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. Y ( ( ( g ` j ) ` k ) [,) ( ( h ` j ) ` k ) ) -> ( e ( L ` Y ) f ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( g ` j ) ( L ` Y ) ( h ` j ) ) ) ) ) )
155		hoidmvlelem5.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X_ k e. W ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. W ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
156	155	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> X_ k e. W ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. W ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
157	4, 86, 87, 89, 91, 5, 92, 93, 103, 104, 105, 107, 122, 123, 124, 151, 152, 154, 156	hoidmvlelem4 40812	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( ( C ` i ) ( L ` W ) ( D ` i ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( A ( L ` W ) B ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) ) )
158	76, 84, 85, 157	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( A ( L ` W ) B ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) ) )
159	158	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> A. r e. RR+ ( A ( L ` W ) B ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) ) )
160		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ r ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
161	43	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> ( A ( L ` W ) B ) e. RR* )
162		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
163	162	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> 0 e. RR* )
164		pnfxr 10092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
165	164	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> +oo e. RR* )
166	45	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* )
167	38	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
168		ltpnf 11954	. . . . . . . 8 |- ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) < +oo )
169	168	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) < +oo )
170	163, 165, 166, 167, 169	elicod 12224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
171	160, 161, 170	xralrple2 39570	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( A ( L ` W ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) <-> A. r e. RR+ ( A ( L ` W ) B ) <_ ( ( 1 + r ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
172	159, 171	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. s e. W ( A ` s ) < ( B ` s ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) -> ( A ( L ` W ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
173	58, 69, 75, 172	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) /\ -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) = +oo ) -> ( A ( L ` W ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
174	57, 173	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ( ph /\ -. E. s e. W ( B ` s ) <_ ( A ` s ) ) -> ( A ( L ` W ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
175	40, 174	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  hoidmvle  40814