Theorem ldepslinc 42298

Description: For (left) vector spaces, isldepslvec2 42274 provides an alternative definition of being a linearly dependent subset, whereas ldepsnlinc 42297 indicates that there is not an analogous alternative definition for arbitrary (left) modules. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref

Expression

ldepslinc

|- ( A. m e. LVec A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) /\ -. A. m e. LMod A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )

Distinct variable group:   f, m, s, v

Proof of Theorem ldepslinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` m ) = ( Base ` m )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` m ) = ( 0g ` m )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` m ) = (Scalar ` m )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` m ) ) = ( Base ` (Scalar ` m ) )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` (Scalar ` m ) ) = ( 0g ` (Scalar ` m ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	isldepslvec2 42274	. . . 4 |- ( ( m e. LVec /\ s e. ~P ( Base ` m ) ) -> ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) <-> s linDepS m ) )
7	6	bicomd 213	. . 3 |- ( ( m e. LVec /\ s e. ~P ( Base ` m ) ) -> ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
8	7	rgen2 2975	. 2 |- A. m e. LVec A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
9		ldepsnlinc 42297	. . . . . . 7 |- E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) )
10		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v <-> -. ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v )
11	10	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> -. ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
12		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> -. ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) <-> -. ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
13	11, 12	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> -. ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
14	13	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) -. ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
15		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) -. ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) <-> -. E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
16	14, 15	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> -. E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
17	16	ralbii 2980	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> A. v e. s -. E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
18		ralnex 2992	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. s -. E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) <-> -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
19	17, 18	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) <-> -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
20	19	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( s linDepS m /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) <-> ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
21	20	2rexbii 3042	. . . . . . 7 |- ( E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ A. v e. s A. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) -> ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) =/= v ) ) <-> E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
22	9, 21	mpbi 220	. . . . . 6 |- E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
23	22	orci 405	. . . . 5 |- ( E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) )
24		r19.43 3093	. . . . 5 |- ( E. m e. LMod ( E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ E. s e. ~P ( Base ` m ) ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) <-> ( E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) )
25	23, 24	mpbir 221	. . . 4 |- E. m e. LMod ( E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ E. s e. ~P ( Base ` m ) ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) )
26		r19.43 3093	. . . . 5 |- ( E. s e. ~P ( Base ` m ) ( ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) <-> ( E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ E. s e. ~P ( Base ` m ) ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) )
27	26	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) <-> E. m e. LMod ( E. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ E. s e. ~P ( Base ` m ) ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) )
28	25, 27	mpbir 221	. . 3 |- E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) )
29		xor 935	. . . . . . . 8 |- ( -. ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) <-> ( ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) )
30	29	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) <-> -. ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
31	30	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. s e. ~P ( Base ` m ) ( ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) <-> E. s e. ~P ( Base ` m ) -. ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
32		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. s e. ~P ( Base ` m ) -. ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) <-> -. A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
33	31, 32	bitri 264	. . . . 5 |- ( E. s e. ~P ( Base ` m ) ( ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) <-> -. A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
34	33	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) <-> E. m e. LMod -. A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
35		rexnal 2995	. . . 4 |- ( E. m e. LMod -. A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) <-> -. A. m e. LMod A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
36	34, 35	bitri 264	. . 3 |- ( E. m e. LMod E. s e. ~P ( Base ` m ) ( ( s linDepS m /\ -. E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) \/ ( E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) /\ -. s linDepS m ) ) <-> -. A. m e. LMod A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )
37	28, 36	mpbi 220	. 2 |- -. A. m e. LMod A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) )
38	8, 37	pm3.2i 471	1 |- ( A. m e. LVec A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) /\ -. A. m e. LMod A. s e. ~P ( Base ` m ) ( s linDepS m <-> E. v e. s E. f e. ( ( Base ` (Scalar ` m ) ) ^m ( s \ { v } ) ) ( f finSupp ( 0g ` (Scalar ` m ) ) /\ ( f ( linC ` m ) ( s \ { v } ) ) = v ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LVecclvec 19102   linC clinc 42193   linDepS clindeps 42230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-nzr 19258  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-linc 42195  df-lininds 42231  df-lindeps 42233

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