Theorem itg1lea 23479

Description: Approximate version of itg1le 23480. If F <_ G for almost all x, then S.1 F <_ S.1 G. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	|- ( ph -> F e. dom S.1 )
itg10a.2	|- ( ph -> A C_ RR )
itg10a.3	|- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
itg1lea.4	|- ( ph -> G e. dom S.1 )
itg1lea.5	|- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( F ` x ) <_ ( G ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
itg1lea	|- ( ph -> ( S.1 ` F ) <_ ( S.1 ` G ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, G   ph, x

Proof of Theorem itg1lea

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1lea.4	. . . . 5 |- ( ph -> G e. dom S.1 )
2		itg10a.1	. . . . 5 |- ( ph -> F e. dom S.1 )
3		i1fsub 23475	. . . . 5 |- ( ( G e. dom S.1 /\ F e. dom S.1 ) -> ( G oF - F ) e. dom S.1 )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( G oF - F ) e. dom S.1 )
5		itg10a.2	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
6		itg10a.3	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
7		itg1lea.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( F ` x ) <_ ( G ` x ) )
8		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( x e. ( RR \ A ) -> x e. RR )
9		i1ff 23443	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. dom S.1 -> G : RR --> RR )
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : RR --> RR )
11	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) e. RR )
12		i1ff 23443	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR )
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : RR --> RR )
14	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
15	11, 14	subge0d 10617	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) <-> ( F ` x ) <_ ( G ` x ) ) )
16	8, 15	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( 0 <_ ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) <-> ( F ` x ) <_ ( G ` x ) ) )
17	7, 16	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> 0 <_ ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) )
18		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( G : RR --> RR -> G Fn RR )
19	10, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G Fn RR )
20		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : RR --> RR -> F Fn RR )
21	13, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Fn RR )
22		reex 10027	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. _V )
24		inidm 3822	. . . . . . 7 |- ( RR i^i RR ) = RR
25		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
26		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
27	19, 21, 23, 23, 24, 25, 26	ofval 6906	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( G oF - F ) ` x ) = ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) )
28	8, 27	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( ( G oF - F ) ` x ) = ( ( G ` x ) - ( F ` x ) ) )
29	17, 28	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> 0 <_ ( ( G oF - F ) ` x ) )
30	4, 5, 6, 29	itg1ge0a 23478	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( S.1 ` ( G oF - F ) ) )
31		itg1sub 23476	. . . 4 |- ( ( G e. dom S.1 /\ F e. dom S.1 ) -> ( S.1 ` ( G oF - F ) ) = ( ( S.1 ` G ) - ( S.1 ` F ) ) )
32	1, 2, 31	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( S.1 ` ( G oF - F ) ) = ( ( S.1 ` G ) - ( S.1 ` F ) ) )
33	30, 32	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( ( S.1 ` G ) - ( S.1 ` F ) ) )
34		itg1cl 23452	. . . 4 |- ( G e. dom S.1 -> ( S.1 ` G ) e. RR )
35	1, 34	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( S.1 ` G ) e. RR )
36		itg1cl 23452	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` F ) e. RR )
37	2, 36	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( S.1 ` F ) e. RR )
38	35, 37	subge0d 10617	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( S.1 ` G ) - ( S.1 ` F ) ) <-> ( S.1 ` F ) <_ ( S.1 ` G ) ) )
39	33, 38	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( S.1 ` F ) <_ ( S.1 ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   - cmin 10266   vol*covol 23231   S.1citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389

This theorem is referenced by:  itg1le  23480  itg2uba  23510  itg2splitlem  23515