Theorem itg2uba 23510

Description: Approximate version of itg2ub 23500. If F approximately dominates G, then S.1 G <_ S.2 F. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2uba.1	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2uba.2	|- ( ph -> G e. dom S.1 )
itg2uba.3	|- ( ph -> A C_ RR )
itg2uba.4	|- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
itg2uba.5	|- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2uba	|- ( ph -> ( S.1 ` G ) <_ ( S.2 ` F ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, G   ph, x

Proof of Theorem itg2uba

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2uba.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. dom S.1 )
2		itg1cl 23452	. . . 4 |- ( G e. dom S.1 -> ( S.1 ` G ) e. RR )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( S.1 ` G ) e. RR )
4	3	rexrd 10089	. 2 |- ( ph -> ( S.1 ` G ) e. RR* )
5		itg2uba.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ RR )
6		itg2uba.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
7		nulmbl 23303	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) = 0 ) -> A e. dom vol )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. dom vol )
9		cmmbl 23302	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> ( RR \ A ) e. dom vol )
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR \ A ) e. dom vol )
11		ifnot 4133	. . . . . . . 8 |- if ( -. x e. A , ( G ` x ) , 0 ) = if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) )
12		eldif 3584	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( RR \ A ) <-> ( x e. RR /\ -. x e. A ) )
13	12	baibr 945	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( -. x e. A <-> x e. ( RR \ A ) ) )
14	13	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> if ( -. x e. A , ( G ` x ) , 0 ) = if ( x e. ( RR \ A ) , ( G ` x ) , 0 ) )
15	11, 14	syl5eqr 2670	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) = if ( x e. ( RR \ A ) , ( G ` x ) , 0 ) )
16	15	mpteq2ia 4740	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( RR \ A ) , ( G ` x ) , 0 ) )
17	16	i1fres 23472	. . . . 5 |- ( ( G e. dom S.1 /\ ( RR \ A ) e. dom vol ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) e. dom S.1 )
18	1, 10, 17	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) e. dom S.1 )
19		itg1cl 23452	. . . 4 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ) e. RR )
20	18, 19	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ) e. RR )
21	20	rexrd 10089	. 2 |- ( ph -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ) e. RR* )
22		itg2uba.1	. . 3 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
23		itg2cl 23499	. . 3 |- ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` F ) e. RR* )
24	22, 23	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR* )
25		i1ff 23443	. . . . . . 7 |- ( G e. dom S.1 -> G : RR --> RR )
26	1, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G : RR --> RR )
27		eldifi 3732	. . . . . 6 |- ( y e. ( RR \ A ) -> y e. RR )
28		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( G : RR --> RR /\ y e. RR ) -> ( G ` y ) e. RR )
29	26, 27, 28	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( RR \ A ) ) -> ( G ` y ) e. RR )
30	29	leidd 10594	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( RR \ A ) ) -> ( G ` y ) <_ ( G ` y ) )
31		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( y e. ( RR \ A ) <-> ( y e. RR /\ -. y e. A ) )
32		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
34	32, 33	ifbieq2d 4111	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) = if ( y e. A , 0 , ( G ` y ) ) )
35		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) )
36		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
37		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( G ` y ) e. _V
38	36, 37	ifex 4156	. . . . . . . 8 |- if ( y e. A , 0 , ( G ` y ) ) e. _V
39	34, 35, 38	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ` y ) = if ( y e. A , 0 , ( G ` y ) ) )
40		iffalse 4095	. . . . . . 7 |- ( -. y e. A -> if ( y e. A , 0 , ( G ` y ) ) = ( G ` y ) )
41	39, 40	sylan9eq 2676	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ -. y e. A ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ` y ) = ( G ` y ) )
42	31, 41	sylbi 207	. . . . 5 |- ( y e. ( RR \ A ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ` y ) = ( G ` y ) )
43	42	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( RR \ A ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ` y ) = ( G ` y ) )
44	30, 43	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( RR \ A ) ) -> ( G ` y ) <_ ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ` y ) )
45	1, 5, 6, 18, 44	itg1lea 23479	. 2 |- ( ph -> ( S.1 ` G ) <_ ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ) )
46		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) = 0 )
47	46	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) = 0 )
48	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
49		elxrge0 12281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR* /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
50	48, 49	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR* /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
51	50	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. A ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
53	47, 52	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
54		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) = ( G ` x ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. A ) -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) = ( G ` x ) )
56		itg2uba.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
57	12, 56	sylan2br 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ -. x e. A ) ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
58	57	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. A ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
59	55, 58	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. A ) -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
60	53, 59	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
61	60	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
62		reex 10027	. . . . . 6 |- RR e. _V
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. _V )
64		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( G ` x ) e. _V
65	36, 64	ifex 4156	. . . . . 6 |- if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) e. _V
66	65	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) e. _V )
67		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. _V )
68		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) )
69	22	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
70	63, 66, 67, 68, 69	ofrfval2 6915	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) oR <_ F <-> A. x e. RR if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) ) )
71	61, 70	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) oR <_ F )
72		itg2ub 23500	. . 3 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) e. dom S.1 /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) oR <_ F ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
73	22, 18, 71, 72	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , 0 , ( G ` x ) ) ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
74	4, 21, 24, 45, 73	xrletrd 11993	1 |- ( ph -> ( S.1 ` G ) <_ ( S.2 ` F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   vol*covol 23231   volcvol 23232   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390

This theorem is referenced by:  itg2lea  23511  itg2split  23516