Theorem knoppndvlem22 32524

Description: Lemma for knoppndv 32525. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem22.t	|- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
knoppndvlem22.f	|- F = ( y e. RR |-> ( n e. NN0 |-> ( ( C ^ n ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ n ) x. y ) ) ) ) )
knoppndvlem22.w	|- W = ( w e. RR |-> sum_ i e. NN0 ( ( F ` w ) ` i ) )
knoppndvlem22.c	|- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
knoppndvlem22.d	|- ( ph -> D e. RR+ )
knoppndvlem22.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
knoppndvlem22.h	|- ( ph -> H e. RR )
knoppndvlem22.n	|- ( ph -> N e. NN )
knoppndvlem22.1	|- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem22	|- ( ph -> E. a e. RR E. b e. RR ( ( a <_ H /\ H <_ b ) /\ ( ( b - a ) < D /\ a =/= b ) /\ E <_ ( ( abs ` ( ( W ` b ) - ( W ` a ) ) ) / ( b - a ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, i, n, w, y   D, a, b   D, i, n, w, y   E, a, b   i, E, n, w, y   i, F, w   H, a, b   N, a, b   i, N, n, w, y   x, N, i, w   T, n, y   W, a, b   ph, i, n, w, y

Allowed substitution hints:   ph( x, a, b)   C( x, a, b)   D( x)   T( x, w, i, a, b)   E( x)   F( x, y, n, a, b)   H( x, y, w, i, n)   W( x, y, w, i, n)

Proof of Theorem knoppndvlem22

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem22.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
2		knoppndvlem22.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
3		knoppndvlem22.d	. . 3 |- ( ph -> D e. RR+ )
4		knoppndvlem22.e	. . 3 |- ( ph -> E e. RR+ )
5		knoppndvlem22.1	. . . 4 |- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )
6	1, 2, 5	knoppndvlem20 32522	. . 3 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) e. RR+ )
7	1, 2, 3, 4, 6, 5	knoppndvlem18 32520	. 2 |- ( ph -> E. j e. NN0 ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) )
8		knoppndvlem22.t	. . 3 |- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
9		knoppndvlem22.f	. . 3 |- F = ( y e. RR |-> ( n e. NN0 |-> ( ( C ^ n ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ n ) x. y ) ) ) ) )
10		knoppndvlem22.w	. . 3 |- W = ( w e. RR |-> sum_ i e. NN0 ( ( F ` w ) ` i ) )
11		eqid 2622	. . 3 |- ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )
12	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
13	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> D e. RR+ )
14	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> E e. RR+ )
15		knoppndvlem22.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. RR )
16	15	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> H e. RR )
17		simprl 794	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> j e. NN0 )
18	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> N e. NN )
19	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )
20		simprrl 804	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D )
21		simprrr 805	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) )
22	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21	knoppndvlem21 32523	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) -> E. a e. RR E. b e. RR ( ( a <_ H /\ H <_ b ) /\ ( ( b - a ) < D /\ a =/= b ) /\ E <_ ( ( abs ` ( ( W ` b ) - ( W ` a ) ) ) / ( b - a ) ) ) )
23	7, 22	rexlimddv 3035	1 |- ( ph -> E. a e. RR E. b e. RR ( ( a <_ H /\ H <_ b ) /\ ( ( b - a ) < D /\ a =/= b ) /\ E <_ ( ( abs ` ( ( W ` b ) - ( W ` a ) ) ) / ( b - a ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   |_cfl 12591   ^cexp 12860   abscabs 13974   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  knoppndv  32525