Theorem knoppndvlem18 32520

Description: Lemma for knoppndv 32525. (Contributed by Asger C. Ipsen, 14-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem18.c	|- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
knoppndvlem18.n	|- ( ph -> N e. NN )
knoppndvlem18.d	|- ( ph -> D e. RR+ )
knoppndvlem18.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
knoppndvlem18.g	|- ( ph -> G e. RR+ )
knoppndvlem18.1	|- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem18	|- ( ph -> E. j e. NN0 ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) ) )

Distinct variable groups:   C, j   D, j   j, E   j, G   j, N   ph, j

Proof of Theorem knoppndvlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. RR )
3		knoppndvlem18.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
5	2, 4	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
7	6	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
8		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < 2 )
10	3	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
11	2, 4, 9, 10	mulgt0d 10192	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( 2 x. N ) )
12	11	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. N ) =/= 0 )
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. N ) =/= 0 )
14		nnz 11399	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
15	14	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. ZZ )
16	7, 13, 15	expnegd 13015	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) = ( 1 / ( ( 2 x. N ) ^ j ) ) )
17	16	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) = ( 1 / ( ( 2 x. N ) ^ j ) ) )
18		2rp 11837	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
20		knoppndvlem18.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR+ )
21	19, 20	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 e. RR+ /\ D e. RR+ ) )
22		rpmulcl 11855	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR+ /\ D e. RR+ ) -> ( 2 x. D ) e. RR+ )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. D ) e. RR+ )
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( 2 x. D ) e. RR+ )
25	5, 11	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
27	26, 15	rpexpcld 13032	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ j ) e. RR+ )
28	27	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ j ) e. RR+ )
29	24	rprecred 11883	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( 1 / ( 2 x. D ) ) e. RR )
30		knoppndvlem18.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
31	30	knoppndvlem3 32505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C e. RR /\ ( abs ` C ) < 1 ) )
32	31	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. CC )
34	33	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
35	5, 34	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR )
37		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
39	36, 38	reexpcld 13025	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) e. RR )
40	39	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) e. RR )
41	28	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ j ) e. RR )
42		knoppndvlem18.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E e. RR+ )
43	42	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. RR )
44		knoppndvlem18.g	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. RR+ )
45	44	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. RR )
46	44	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G =/= 0 )
47	43, 45, 46	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E / G ) e. RR )
48	23	rprecred 11883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 x. D ) ) e. RR )
49	47, 48	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) e. RR )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) e. RR )
51	48, 47	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) e. RR /\ ( E / G ) e. RR ) )
52		max1 12016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) e. RR /\ ( E / G ) e. RR ) -> ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) )
55		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) )
56	29, 50, 40, 54, 55	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( 1 / ( 2 x. D ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) )
57	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. CC )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( abs ` C ) e. CC )
59	7, 58, 38	mulexpd 13023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ j ) x. ( ( abs ` C ) ^ j ) ) )
60	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( abs ` C ) e. RR )
61	60, 38	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( abs ` C ) ^ j ) e. RR )
62		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. RR )
63	27	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ j ) e. RR )
64	27	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 0 <_ ( ( 2 x. N ) ^ j ) )
65	33	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` C ) )
66		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. RR )
67	31	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( abs ` C ) < 1 )
68	34, 66, 67	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` C ) <_ 1 )
69	34, 65, 68	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) /\ ( abs ` C ) <_ 1 ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) /\ ( abs ` C ) <_ 1 ) )
71	70, 38	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) /\ ( abs ` C ) <_ 1 ) /\ j e. NN0 ) )
72		exple1 12920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) /\ ( abs ` C ) <_ 1 ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` C ) ^ j ) <_ 1 )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( abs ` C ) ^ j ) <_ 1 )
74	61, 62, 63, 64, 73	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ j ) x. ( ( abs ` C ) ^ j ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ j ) x. 1 ) )
75	63	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ j ) e. CC )
76	75	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ j ) x. 1 ) = ( ( 2 x. N ) ^ j ) )
77	74, 76	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ j ) x. ( ( abs ` C ) ^ j ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ j ) )
78	59, 77	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ j ) )
79	78	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ j ) )
80	29, 40, 41, 56, 79	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( 1 / ( 2 x. D ) ) < ( ( 2 x. N ) ^ j ) )
81	24, 28, 80	ltrec1d 11892	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) ^ j ) ) < ( 2 x. D ) )
82	17, 81	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) < ( 2 x. D ) )
83		nnnegz 11380	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> -u j e. ZZ )
84	83	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> -u j e. ZZ )
85	6, 13, 84	reexpclzd 13034	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) e. RR )
86	20	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. RR )
87	86	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> D e. RR )
88	18	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 2 e. RR+ )
89	85, 87, 88	ltdivmuld 11923	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D <-> ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) < ( 2 x. D ) ) )
90	89	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D <-> ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) < ( 2 x. D ) ) )
91	82, 90	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D )
92	47	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( E / G ) e. RR )
93		max2 12018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) e. RR /\ ( E / G ) e. RR ) -> ( E / G ) <_ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) )
94	51, 93	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E / G ) <_ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) )
95	94	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( E / G ) <_ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) )
96	50, 40, 55	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) )
97	92, 50, 40, 95, 96	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( E / G ) <_ ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) )
98	43	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> E e. RR )
99	44	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> G e. RR+ )
100	98, 40, 99	ledivmul2d 11926	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( E / G ) <_ ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) <-> E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) ) )
101	97, 100	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) )
102	91, 101	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) ) )
103		1t1e1 11175	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
104	103	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- 1 = ( 1 x. 1 )
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 = ( 1 x. 1 ) )
106	4, 34	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N x. ( abs ` C ) ) e. RR )
107		0le1 10551	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
109		1lt2 11194	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < 2 )
111		knoppndvlem18.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )
112	66, 2, 66, 106, 108, 110, 108, 111	ltmul12ad 10965	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 x. 1 ) < ( 2 x. ( N x. ( abs ` C ) ) ) )
113	105, 112	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < ( 2 x. ( N x. ( abs ` C ) ) ) )
114	2	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
115	4	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. CC )
116	114, 115, 57	mulassd 10063	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) = ( 2 x. ( N x. ( abs ` C ) ) ) )
117	116	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( N x. ( abs ` C ) ) ) = ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) )
118	113, 117	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) )
119	49, 35, 118	3jca 1242	. . . 4 |- ( ph -> ( if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR /\ 1 < ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ) )
120		expnbnd 12993	. . . 4 |- ( ( if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR /\ 1 < ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ) -> E. j e. NN if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) )
121	119, 120	syl 17	. . 3 |- ( ph -> E. j e. NN if ( ( 1 / ( 2 x. D ) ) <_ ( E / G ) , ( E / G ) , ( 1 / ( 2 x. D ) ) ) < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) )
122	102, 121	reximddv 3018	. 2 |- ( ph -> E. j e. NN ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) ) )
123		nnssnn0 11295	. . 3 |- NN C_ NN0
124		ssrexv 3667	. . 3 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. j e. NN ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) ) -> E. j e. NN0 ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) ) ) )
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 |- ( E. j e. NN ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) ) -> E. j e. NN0 ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) ) )
126	122, 125	syl 17	1 |- ( ph -> E. j e. NN0 ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u j ) / 2 ) < D /\ E <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ j ) x. G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ^cexp 12860   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  knoppndvlem22  32524