Theorem tgioo2 22606

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgioo2.1	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
tgioo2	|- ( topGen ` ran (,) ) = ( J ↾t RR )

Proof of Theorem tgioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
2		cnxmet 22576	. . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
3		ax-resscn 9993	. . 3 |- RR C_ CC
4		tgioo2.1	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	cnfldtopn 22585	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6		eqid 2622	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
7	1, 5, 6	metrest 22329	. . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ RR C_ CC ) -> ( J ↾t RR ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) )
8	2, 3, 7	mp2an 708	. 2 |- ( J ↾t RR ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
9	1, 8	tgioo 22599	1 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( J ↾t RR )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   - cmin 10266   (,)cioo 12175   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  rerest  22607  tgioo3  22608  zcld2  22618  metdcn  22643  ngnmcncn  22648  metdscn2  22660  abscncfALT  22723  cnrehmeo  22752  rellycmp  22756  evth  22758  evth2  22759  lebnumlem2  22761  resscdrg  23154  retopn  23167  cncombf  23425  cnmbf  23426  dvcjbr  23712  rolle  23753  cmvth  23754  mvth  23755  dvlip  23756  dvlipcn  23757  dvlip2  23758  c1liplem1  23759  dvgt0lem1  23765  dvle  23770  dvivthlem1  23771  dvne0  23774  lhop1lem  23776  lhop2  23778  lhop  23779  dvcnvrelem1  23780  dvcnvrelem2  23781  dvcnvre  23782  dvcvx  23783  dvfsumle  23784  dvfsumabs  23786  dvfsumlem2  23790  ftc1  23805  ftc1cn  23806  ftc2  23807  ftc2ditglem  23808  itgparts  23810  itgsubstlem  23811  taylthlem2  24128  efcvx  24203  pige3  24269  dvloglem  24394  logdmopn  24395  advlog  24400  advlogexp  24401  logccv  24409  loglesqrt  24499  lgamgulmlem2  24756  ftalem3  24801  log2sumbnd  25233  nmcnc  27551  ipasslem7  27691  rmulccn  29974  raddcn  29975  ftc2re  30676  knoppcnlem10  32492  knoppcnlem11  32493  broucube  33443  ftc1cnnc  33484  ftc2nc  33494  dvasin  33496  dvacos  33497  dvreasin  33498  dvreacos  33499  areacirclem1  33500  areacirc  33505  itgpowd  37800  lhe4.4ex1a  38528  refsumcn  39189  xrtgcntopre  39709  tgioo4  39800  climreeq  39845  limcresiooub  39874  limcresioolb  39875  lptioo2cn  39877  lptioo1cn  39878  limclner  39883  cncfiooicclem1  40106  jumpncnp  40111  fperdvper  40133  dvmptresicc  40134  dvresioo  40136  dvbdfbdioolem1  40143  itgsin0pilem1  40165  itgsinexplem1  40169  itgcoscmulx  40185  itgsubsticclem  40191  itgiccshift  40196  itgperiod  40197  itgsbtaddcnst  40198  dirkeritg  40319  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem3  40322  dirkercncflem4  40323  dirkercncf  40324  fourierdlem28  40352  fourierdlem32  40356  fourierdlem33  40357  fourierdlem39  40363  fourierdlem56  40379  fourierdlem57  40380  fourierdlem58  40381  fourierdlem59  40382  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384  fourierdlem62  40385  fourierdlem68  40391  fourierdlem72  40395  fourierdlem73  40396  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem80  40403  fourierdlem94  40417  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem113  40436  fouriercnp  40443  fouriersw  40448  fouriercn  40449  etransclem2  40453  etransclem23  40474  etransclem35  40486  etransclem38  40489  etransclem39  40490  etransclem44  40495  etransclem45  40496  etransclem46  40497  etransclem47  40498