Theorem spansncvi 28511

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spansncv.1	|- A e. CH
spansncv.2	|- B e. CH
spansncv.3	|- C e. ~H

Assertion

Ref	Expression
spansncvi	|- ( ( A C. B /\ B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) ) -> B = ( A vH ( span ` { C } ) ) )

Proof of Theorem spansncvi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. 2 |- ( ( A C. B /\ B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) ) -> B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) )
2		pssss 3702	. . . 4 |- ( A C. B -> A C_ B )
3	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( A C. B /\ B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) ) -> A C_ B )
4		pssnel 4039	. . . . . . 7 |- ( A C. B -> E. x ( x e. B /\ -. x e. A ) )
5		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) /\ x e. B ) -> x e. ( A vH ( span ` { C } ) ) )
6		spansncv.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A e. CH
7		spansncv.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C e. ~H
8	6, 7	spansnji 28505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A +H ( span ` { C } ) ) = ( A vH ( span ` { C } ) )
9	8	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( A +H ( span ` { C } ) ) <-> x e. ( A vH ( span ` { C } ) ) )
10	7	spansnchi 28421	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( span ` { C } ) e. CH
11	6, 10	chseli 28318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( A +H ( span ` { C } ) ) <-> E. y e. A E. z e. ( span ` { C } ) x = ( y +h z ) )
12	9, 11	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A vH ( span ` { C } ) ) <-> E. y e. A E. z e. ( span ` { C } ) x = ( y +h z ) )
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = ( y +h z ) -> ( x e. B <-> ( y +h z ) e. B ) )
14	13	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. B /\ x = ( y +h z ) ) -> ( y +h z ) e. B )
15	2	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A C. B /\ y e. A ) -> y e. B )
16		spansncv.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- B e. CH
17	16	chshii 28084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- B e. SH
18		shsubcl 28077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B e. SH /\ ( y +h z ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( y +h z ) -h y ) e. B )
19	17, 18	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( y +h z ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( y +h z ) -h y ) e. B )
20	14, 15, 19	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. B /\ x = ( y +h z ) ) /\ ( A C. B /\ y e. A ) ) -> ( ( y +h z ) -h y ) e. B )
21	20	exp43 640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. B -> ( x = ( y +h z ) -> ( A C. B -> ( y e. A -> ( ( y +h z ) -h y ) e. B ) ) ) )
22	21	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. A -> ( x = ( y +h z ) -> ( A C. B -> ( x e. B -> ( ( y +h z ) -h y ) e. B ) ) ) )
23	22	imp45 623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. A /\ ( x = ( y +h z ) /\ ( A C. B /\ x e. B ) ) ) -> ( ( y +h z ) -h y ) e. B )
24	6	cheli 28089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. A -> y e. ~H )
25	10	cheli 28089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. ( span ` { C } ) -> z e. ~H )
26		hvpncan2 27897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( y +h z ) -h y ) = z )
27	24, 25, 26	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) -> ( ( y +h z ) -h y ) = z )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) -> ( ( ( y +h z ) -h y ) e. B <-> z e. B ) )
29	23, 28	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) -> ( ( y e. A /\ ( x = ( y +h z ) /\ ( A C. B /\ x e. B ) ) ) -> z e. B ) )
30	29	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) /\ ( y e. A /\ ( x = ( y +h z ) /\ ( A C. B /\ x e. B ) ) ) ) -> z e. B )
31	30	anandis 873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. A /\ ( z e. ( span ` { C } ) /\ ( x = ( y +h z ) /\ ( A C. B /\ x e. B ) ) ) ) -> z e. B )
32	31	exp45 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. A -> ( z e. ( span ` { C } ) -> ( x = ( y +h z ) -> ( ( A C. B /\ x e. B ) -> z e. B ) ) ) )
33	32	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) /\ x = ( y +h z ) ) /\ ( A C. B /\ x e. B ) ) -> z e. B )
34	33	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) /\ x = ( y +h z ) ) /\ ( ( A C. B /\ x e. B ) /\ -. x e. A ) ) -> z e. B )
35		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = 0h -> ( y +h z ) = ( y +h 0h ) )
36		ax-hvaddid 27861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. ~H -> ( y +h 0h ) = y )
37	24, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. A -> ( y +h 0h ) = y )
38	35, 37	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. A /\ z = 0h ) -> ( y +h z ) = y )
39	38	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. A /\ z = 0h ) -> ( x = ( y +h z ) <-> x = y ) )
40		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. A -> ( x = y -> x e. A ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. A /\ z = 0h ) -> ( x = y -> x e. A ) )
42	39, 41	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. A /\ z = 0h ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. A ) )
43	42	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. A /\ x = ( y +h z ) ) -> ( z = 0h -> x e. A ) )
44	43	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. A /\ x = ( y +h z ) ) -> ( -. x e. A -> z =/= 0h ) )
45	44	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. A /\ x = ( y +h z ) ) /\ -. x e. A ) -> z =/= 0h )
46		spansnss 28430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( B e. SH /\ z e. B ) -> ( span ` { z } ) C_ B )
47	17, 46	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. B -> ( span ` { z } ) C_ B )
48		spansneleq 28429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( C e. ~H /\ z =/= 0h ) -> ( z e. ( span ` { C } ) -> ( span ` { z } ) = ( span ` { C } ) ) )
49	7, 48	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z =/= 0h -> ( z e. ( span ` { C } ) -> ( span ` { z } ) = ( span ` { C } ) ) )
50	49	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z =/= 0h /\ z e. ( span ` { C } ) ) -> ( span ` { z } ) = ( span ` { C } ) )
51	50	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z =/= 0h /\ z e. ( span ` { C } ) ) -> ( ( span ` { z } ) C_ B <-> ( span ` { C } ) C_ B ) )
52	47, 51	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z =/= 0h /\ z e. ( span ` { C } ) ) -> ( z e. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
53	52	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ( span ` { C } ) /\ z =/= 0h ) -> ( z e. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
54	45, 53	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ( span ` { C } ) /\ ( ( y e. A /\ x = ( y +h z ) ) /\ -. x e. A ) ) -> ( z e. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
55	54	exp44 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( span ` { C } ) -> ( y e. A -> ( x = ( y +h z ) -> ( -. x e. A -> ( z e. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) ) ) ) )
56	55	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. A -> ( z e. ( span ` { C } ) -> ( x = ( y +h z ) -> ( -. x e. A -> ( z e. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) ) ) ) )
57	56	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) /\ x = ( y +h z ) ) /\ -. x e. A ) -> ( z e. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
58	57	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) /\ x = ( y +h z ) ) /\ ( ( A C. B /\ x e. B ) /\ -. x e. A ) ) -> ( z e. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
59	34, 58	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) /\ x = ( y +h z ) ) /\ ( ( A C. B /\ x e. B ) /\ -. x e. A ) ) -> ( span ` { C } ) C_ B )
60	59	exp43 640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ z e. ( span ` { C } ) ) -> ( x = ( y +h z ) -> ( ( A C. B /\ x e. B ) -> ( -. x e. A -> ( span ` { C } ) C_ B ) ) ) )
61	60	rexlimivv 3036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y e. A E. z e. ( span ` { C } ) x = ( y +h z ) -> ( ( A C. B /\ x e. B ) -> ( -. x e. A -> ( span ` { C } ) C_ B ) ) )
62	12, 61	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A vH ( span ` { C } ) ) -> ( ( A C. B /\ x e. B ) -> ( -. x e. A -> ( span ` { C } ) C_ B ) ) )
63	5, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( A C. B /\ x e. B ) -> ( -. x e. A -> ( span ` { C } ) C_ B ) ) )
64	63	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) /\ x e. B ) /\ ( A C. B /\ x e. B ) ) -> ( -. x e. A -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
65	64	anandirs 874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) /\ A C. B ) /\ x e. B ) -> ( -. x e. A -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
66	65	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) /\ A C. B ) -> ( ( x e. B /\ -. x e. A ) -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
67	66	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) /\ A C. B ) -> ( E. x ( x e. B /\ -. x e. A ) -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
68	4, 67	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) /\ A C. B ) -> ( A C. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
69	68	ex 450	. . . . 5 |- ( B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) -> ( A C. B -> ( A C. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) ) )
70	69	pm2.43d 53	. . . 4 |- ( B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) -> ( A C. B -> ( span ` { C } ) C_ B ) )
71	70	impcom 446	. . 3 |- ( ( A C. B /\ B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) ) -> ( span ` { C } ) C_ B )
72	6, 10, 16	chlubii 28331	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ ( span ` { C } ) C_ B ) -> ( A vH ( span ` { C } ) ) C_ B )
73	3, 71, 72	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A C. B /\ B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) ) -> ( A vH ( span ` { C } ) ) C_ B )
74	1, 73	eqssd 3620	1 |- ( ( A C. B /\ B C_ ( A vH ( span ` { C } ) ) ) -> B = ( A vH ( span ` { C } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   +h cva 27777   0hc0v 27781   -h cmv 27782   SHcsh 27785   CHcch 27786   +H cph 27788   spancspn 27789   vH chj 27790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168  df-chj 28169  df-pjh 28254

This theorem is referenced by:  spansncv  28512