MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mp Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem pm2mp 20630
Description: The transformation of a sum of matrices having scaled monomials with the same power as entries into a sum of scaled monomials as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p |- P = (Poly1 ` R )
monmat2matmon.c |- C = ( N Mat P )
monmat2matmon.b |- B = ( Base ` C )
monmat2matmon.m1 |- .* = ( .s ` Q )
monmat2matmon.e1 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
monmat2matmon.x |- X = (var1 ` A )
monmat2matmon.a |- A = ( N Mat R )
monmat2matmon.k |- K = ( Base ` A )
monmat2matmon.q |- Q = (Poly1 ` A )
monmat2matmon.i |- I = ( N pMatToMatPoly R )
monmat2matmon.e2 |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
monmat2matmon.y |- Y = (var1 ` R )
monmat2matmon.m2 |- .x. = ( .s ` C )
monmat2matmon.t |- T = ( N matToPolyMat R )
Assertion
Ref Expression
pm2mp |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> ( I ` ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) ) ) ) = ( Q gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( M ` n ) .* ( n .^ X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, n   B, n   n, E   n, I   n, K   n, M   n, N   R, n   T, n   n, Y   .x. , n
Allowed substitution hints:   C( n)   P( n)   Q( n)   .^ ( n)   .* ( n)   X( n)
Proof of Theorem pm2mp
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monmat2matmon.b . . 3 |- B = ( Base ` C )
2 eqid 2622 . . 3 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
3 crngring 18558 . . . . . 6 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
43anim2i 593 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
5 monmat2matmon.p . . . . . 6 |- P = (Poly1 ` R )
6 monmat2matmon.c . . . . . 6 |- C = ( N Mat P )
75, 6pmatring 20498 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
8 ringcmn 18581 . . . . 5 |- ( C e. Ring -> C e. CMnd )
94, 7, 83syl 18 . . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> C e. CMnd )
109adantr 481 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> C e. CMnd )
11 monmat2matmon.a . . . . . . 7 |- A = ( N Mat R )
1211matring 20249 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
133, 12sylan2 491 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A e. Ring )
14 monmat2matmon.q . . . . . 6 |- Q = (Poly1 ` A )
1514ply1ring 19618 . . . . 5 |- ( A e. Ring -> Q e. Ring )
16 ringmnd 18556 . . . . 5 |- ( Q e. Ring -> Q e. Mnd )
1713, 15, 163syl 18 . . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Q e. Mnd )
1817adantr 481 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> Q e. Mnd )
19 nn0ex 11298 . . . 4 |- NN0 e. _V
2019a1i 11 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> NN0 e. _V )
21 monmat2matmon.m1 . . . . . . 7 |- .* = ( .s ` Q )
22 monmat2matmon.e1 . . . . . . 7 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
23 monmat2matmon.x . . . . . . 7 |- X = (var1 ` A )
24 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
25 monmat2matmon.i . . . . . . 7 |- I = ( N pMatToMatPoly R )
265, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 14, 24, 25pm2mpghm 20621 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> I e. ( C GrpHom Q ) )
273, 26sylan2 491 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> I e. ( C GrpHom Q ) )
2827adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> I e. ( C GrpHom Q ) )
29 ghmmhm 17670 . . . 4 |- ( I e. ( C GrpHom Q ) -> I e. ( C MndHom Q ) )
3028, 29syl 17 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> I e. ( C MndHom Q ) )
314adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
3231adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
33 elmapi 7879 . . . . . . 7 |- ( M e. ( K ^m NN0 ) -> M : NN0 --> K )
3433adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) -> M : NN0 --> K )
3534adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> M : NN0 --> K )
3635ffvelrnda 6359 . . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( M ` n ) e. K )
37 simpr 477 . . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
38 monmat2matmon.k . . . . 5 |- K = ( Base ` A )
39 monmat2matmon.t . . . . 5 |- T = ( N matToPolyMat R )
40 monmat2matmon.m2 . . . . 5 |- .x. = ( .s ` C )
41 monmat2matmon.e2 . . . . 5 |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
42 monmat2matmon.y . . . . 5 |- Y = (var1 ` R )
4311, 38, 39, 5, 6, 1, 40, 41, 42mat2pmatscmxcl 20545 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( M ` n ) e. K /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) e. B )
4432, 36, 37, 43syl12anc 1324 . . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) e. B )
45 fvexd 6203 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> ( 0g ` C ) e. _V )
46 ovexd 6680 . . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) e. _V )
47 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) -> M e. ( K ^m NN0 ) )
48 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( 0g ` A ) e. _V
49 fsuppmapnn0ub 12795 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ ( 0g ` A ) e. _V ) -> ( M finSupp ( 0g ` A ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( M ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) )
5047, 48, 49sylancl 694 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) -> ( M finSupp ( 0g ` A ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( M ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) )
51 csbov12g 6689 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN0 -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( [_ x / n ]_ ( n E Y ) .x. [_ x / n ]_ ( T ` ( M ` n ) ) ) )
52 csbov1g 6690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. NN0 -> [_ x / n ]_ ( n E Y ) = ( [_ x / n ]_ n E Y ) )
53 csbvarg 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. NN0 -> [_ x / n ]_ n = x )
5453oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. NN0 -> ( [_ x / n ]_ n E Y ) = ( x E Y ) )
5552, 54eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. NN0 -> [_ x / n ]_ ( n E Y ) = ( x E Y ) )
56 csbfv2g 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. NN0 -> [_ x / n ]_ ( T ` ( M ` n ) ) = ( T ` [_ x / n ]_ ( M ` n ) ) )
57 csbfv2g 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. NN0 -> [_ x / n ]_ ( M ` n ) = ( M ` [_ x / n ]_ n ) )
5853fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. NN0 -> ( M ` [_ x / n ]_ n ) = ( M ` x ) )
5957, 58eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. NN0 -> [_ x / n ]_ ( M ` n ) = ( M ` x ) )
6059fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. NN0 -> ( T ` [_ x / n ]_ ( M ` n ) ) = ( T ` ( M ` x ) ) )
6156, 60eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. NN0 -> [_ x / n ]_ ( T ` ( M ` n ) ) = ( T ` ( M ` x ) ) )
6255, 61oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN0 -> ( [_ x / n ]_ ( n E Y ) .x. [_ x / n ]_ ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( ( x E Y ) .x. ( T ` ( M ` x ) ) ) )
6351, 62eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN0 -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( ( x E Y ) .x. ( T ` ( M ` x ) ) ) )
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( ( x E Y ) .x. ( T ` ( M ` x ) ) ) )
6564adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) /\ ( M ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( ( x E Y ) .x. ( T ` ( M ` x ) ) ) )
66 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M ` x ) = ( 0g ` A ) -> ( T ` ( M ` x ) ) = ( T ` ( 0g ` A ) ) )
6766oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M ` x ) = ( 0g ` A ) -> ( ( x E Y ) .x. ( T ` ( M ` x ) ) ) = ( ( x E Y ) .x. ( T ` ( 0g ` A ) ) ) )
6839, 11, 38, 5, 6, 1mat2pmatghm 20535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T e. ( A GrpHom C ) )
693, 68sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> T e. ( A GrpHom C ) )
7069ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> T e. ( A GrpHom C ) )
71 ghmmhm 17670 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T e. ( A GrpHom C ) -> T e. ( A MndHom C ) )
72 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
7372, 2mhm0 17343 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T e. ( A MndHom C ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
7470, 71, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
7574oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( x E Y ) .x. ( T ` ( 0g ` A ) ) ) = ( ( x E Y ) .x. ( 0g ` C ) ) )
765ply1ring 19618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. CRing -> P e. Ring )
786matlmod 20235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> C e. LMod )
7977, 78sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> C e. LMod )
8079ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> C e. LMod )
8177adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> P e. Ring )
82 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
8382ringmgp 18553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. Ring -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
8584ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
86 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> x e. NN0 )
873adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> R e. Ring )
88 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
8942, 5, 88vr1cl 19587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Ring -> Y e. ( Base ` P ) )
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. ( Base ` P ) )
9190ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> Y e. ( Base ` P ) )
9282, 88mgpbas 18495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` P ) = ( Base ` (mulGrp ` P ) )
9392, 41mulgnn0cl 17558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` P ) e. Mnd /\ x e. NN0 /\ Y e. ( Base ` P ) ) -> ( x E Y ) e. ( Base ` P ) )
9485, 86, 91, 93syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( x E Y ) e. ( Base ` P ) )
955ply1crng 19568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. CRing -> P e. CRing )
966matsca2 20226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. Fin /\ P e. CRing ) -> P = (Scalar ` C ) )
9795, 96sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> P = (Scalar ` C ) )
9897eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (Scalar ` C ) = P )
9998ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> (Scalar ` C ) = P )
10099fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` P ) )
10194, 100eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( x E Y ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
102 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` C ) = (Scalar ` C )
103 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` (Scalar ` C ) )
104102, 40, 103, 2lmodvs0 18897 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. LMod /\ ( x E Y ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) ) -> ( ( x E Y ) .x. ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
10580, 101, 104syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( x E Y ) .x. ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
10675, 105eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( x E Y ) .x. ( T ` ( 0g ` A ) ) ) = ( 0g ` C ) )
10767, 106sylan9eqr 2678 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) /\ ( M ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( ( x E Y ) .x. ( T ` ( M ` x ) ) ) = ( 0g ` C ) )
10865, 107eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) /\ ( M ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) )
109108ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( M ` x ) = ( 0g ` A ) -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) )
110109imim2d 57 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( y < x -> ( M ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( y < x -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) ) )
111110ralimdva 2962 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) /\ y e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( y < x -> ( M ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> A. x e. NN0 ( y < x -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) ) )
112111reximdva 3017 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) -> ( E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> ( M ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) ) )
11350, 112syld 47 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ M e. ( K ^m NN0 ) ) -> ( M finSupp ( 0g ` A ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) ) )
114113impr 649 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> E. y e. NN0 A. x e. NN0 ( y < x -> [_ x / n ]_ ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) )
11545, 46, 114mptnn0fsupp 12797 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) ) finSupp ( 0g ` C ) )
1161, 2, 10, 18, 20, 30, 44, 115gsummptmhm 18340 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> ( Q gsumg ( n e. NN0 |-> ( I ` ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) ) ) ) = ( I ` ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) ) ) ) )
117 simpll 790 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing ) )
1185, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 38, 14, 25, 41, 42, 40, 39monmat2matmon 20629 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( ( M ` n ) e. K /\ n e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) ) = ( ( M ` n ) .* ( n .^ X ) ) )
119117, 36, 37, 118syl12anc 1324 . . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( I ` ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) ) = ( ( M ` n ) .* ( n .^ X ) ) )
120119mpteq2dva 4744 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( I ` ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( M ` n ) .* ( n .^ X ) ) ) )
121120oveq2d 6666 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> ( Q gsumg ( n e. NN0 |-> ( I ` ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) ) ) ) = ( Q gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( M ` n ) .* ( n .^ X ) ) ) ) )
122116, 121eqtr3d 2658 1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. ( K ^m NN0 ) /\ M finSupp ( 0g ` A ) ) ) -> ( I ` ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E Y ) .x. ( T ` ( M ` n ) ) ) ) ) ) = ( Q gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( M ` n ) .* ( n .^ X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   < clt 10074   NN0cn0 11292   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  .gcmg 17540   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  var1cv1 19546  Poly1cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509   pMatToMatPoly cpm2mp 20597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512  df-decpmat 20568  df-pm2mp 20598
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  20678  cpmadumatpoly  20688
  Copyright terms: Public domain W3C validator