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Theorem fourierdlem111 40434
Description: The fourier partial sum for F is the sum of two integrals, with the same integrand involving F and the Dirichlet Kernel D, but on two opposite intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem111.a |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( cos ` ( n x. t ) ) ) _d t / pi ) )
fourierdlem111.b |- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( sin ` ( n x. t ) ) ) _d t / pi ) )
fourierdlem111.s |- S = ( m e. NN |-> ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... m ) ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) )
fourierdlem111.d |- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem111.p |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem111.m |- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem111.q |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem111.x |- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem111.6 |- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem111.fper |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem111.g |- G = ( x e. RR |-> ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) )
fourierdlem111.fcn |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem111.r |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem111.l |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem111.t |- T = ( 2 x. pi )
fourierdlem111.o |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi - X ) /\ ( p ` m ) = ( pi - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem111.14 |- W = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` i ) - X ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem111 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) )
Distinct variable groups:   A, m, n   B, m   D, i, m, y   D, s, t, i, y   x, D, i, s, y   i, F, n, s, t, y   x, F, n   i, G, s, x   L, s, t   x, L   i, M, m, p   M, s, t, y   x, M   Q, i, p   Q, s, t, y   x, Q   R, s, t   x, R   T, s, x   i, W, m, p   W, s, x, y   i, X, m, n, y   X, p   X, s, t   x, X   ph, i, m, n, y   ph, s, t   ph, x
Allowed substitution hints:   ph( p)   A( x, y, t, i, s, p)   B( x, y, t, i, n, s, p)   D( n, p)   P( x, y, t, i, m, n, s, p)   Q( m, n)   R( y, i, m, n, p)   S( x, y, t, i, m, n, s, p)   T( y, t, i, m, n, p)   F( m, p)   G( y, t, m, n, p)   L( y, i, m, n, p)   M( n)   O( x, y, t, i, m, n, s, p)   W( t, n)
Proof of Theorem fourierdlem111
Dummy variables k j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2689 . . . . . 6 |- ( k = n -> ( k e. NN <-> n e. NN ) )
21anbi2d 740 . . . . 5 |- ( k = n -> ( ( ph /\ k e. NN ) <-> ( ph /\ n e. NN ) ) )
3 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( k = n -> ( S ` k ) = ( S ` n ) )
4 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( D ` k ) = ( D ` n ) )
54fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( D ` k ) ` ( t - X ) ) = ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) )
65oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` k ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) )
76adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( k = n /\ t e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` k ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) )
87itgeq2dv 23548 . . . . . 6 |- ( k = n -> S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` k ) ` ( t - X ) ) ) _d t = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t )
93, 8eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( k = n -> ( ( S ` k ) = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` k ) ` ( t - X ) ) ) _d t <-> ( S ` n ) = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t ) )
102, 9imbi12d 334 . . . 4 |- ( k = n -> ( ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` k ) ` ( t - X ) ) ) _d t ) <-> ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t ) ) )
11 fourierdlem111.6 . . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> RR )
1211adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : RR --> RR )
13 eqid 2622 . . . . 5 |- ( -u pi (,) pi ) = ( -u pi (,) pi )
14 ioossre 12235 . . . . . . . . 9 |- ( -u pi (,) pi ) C_ RR
1514a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u pi (,) pi ) C_ RR )
1611, 15feqresmpt 6250 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( -u pi (,) pi ) ) = ( x e. ( -u pi (,) pi ) |-> ( F ` x ) ) )
17 ioossicc 12259 . . . . . . . . 9 |- ( -u pi (,) pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
1817a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u pi (,) pi ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
19 ioombl 23333 . . . . . . . . 9 |- ( -u pi (,) pi ) e. dom vol
2019a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u pi (,) pi ) e. dom vol )
2111adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) ) -> F : RR --> RR )
22 pire 24210 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
2322renegcli 10342 . . . . . . . . . . . . . 14 |- -u pi e. RR
2423, 22elicc2i 12239 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( t e. RR /\ -u pi <_ t /\ t <_ pi ) )
2524simp1bi 1076 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( -u pi [,] pi ) -> t e. RR )
2625ssriv 3607 . . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
2827sselda 3603 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) ) -> x e. RR )
2921, 28ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
3011, 27feqresmpt 6250 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) = ( x e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) )
31 fourierdlem111.p . . . . . . . . . 10 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
32 fourierdlem111.m . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
33 fourierdlem111.q . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
34 ax-resscn 9993 . . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR C_ CC )
3611, 35fssd 6057 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> CC )
3736, 27fssresd 6071 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
38 ioossicc 12259 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
3923rexri 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. RR*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
4122rexri 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
4331, 32, 33fourierdlem15 40339 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
45 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
4640, 42, 44, 45fourierdlem8 40332 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
4738, 46syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
4847resabs1d 5428 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
49 fourierdlem111.fcn . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
5048, 49eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
51 fourierdlem111.r . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
5248oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
5351, 52eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
54 fourierdlem111.l . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
5548oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
5654, 55eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
5731, 32, 33, 37, 50, 53, 56fourierdlem69 40392 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) e. L^1 )
5830, 57eqeltrrd 2702 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
5918, 20, 29, 58iblss 23571 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) pi ) |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
6016, 59eqeltrd 2701 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( -u pi (,) pi ) ) e. L^1 )
6160adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F |` ( -u pi (,) pi ) ) e. L^1 )
62 fourierdlem111.a . . . . 5 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( cos ` ( n x. t ) ) ) _d t / pi ) )
63 fourierdlem111.b . . . . 5 |- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( sin ` ( n x. t ) ) ) _d t / pi ) )
64 fourierdlem111.x . . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR )
6564adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> X e. RR )
66 fourierdlem111.s . . . . 5 |- S = ( m e. NN |-> ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... m ) ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) )
67 fourierdlem111.d . . . . 5 |- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
68 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
6912, 13, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68fourierdlem83 40406 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` k ) ` ( t - X ) ) ) _d t )
7010, 69chvarv 2263 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t )
7123a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u pi e. RR )
7222a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> pi e. RR )
7336adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> F : RR --> CC )
7425adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> t e. RR )
7573, 74ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
7675adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
7767dirkerf 40314 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( D ` n ) : RR --> RR )
7877ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
7964adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> X e. RR )
8074, 79resubcld 10458 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( t - X ) e. RR )
8180adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( t - X ) e. RR )
8278, 81ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) e. RR )
8382recnd 10068 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) e. CC )
8476, 83mulcld 10060 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) e. CC )
8571, 72, 84itgioo 23582 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t = S. ( -u pi [,] pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t )
86 fvres 6207 . . . . . . . 8 |- ( t e. ( -u pi [,] pi ) -> ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) = ( F ` t ) )
8786eqcomd 2628 . . . . . . 7 |- ( t e. ( -u pi [,] pi ) -> ( F ` t ) = ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) )
8887oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( t e. ( -u pi [,] pi ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) )
8988adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) )
9089itgeq2dv 23548 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u pi [,] pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t = S. ( -u pi [,] pi ) ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t )
91 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n = m /\ y e. RR ) -> n = m )
9291oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n = m /\ y e. RR ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. m ) )
9392oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n = m /\ y e. RR ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. m ) + 1 ) )
9493oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n = m /\ y e. RR ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
9591oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n = m /\ y e. RR ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( m + ( 1 / 2 ) ) )
9695oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n = m /\ y e. RR ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) = ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) )
9796fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n = m /\ y e. RR ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) = ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) )
9897oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n = m /\ y e. RR ) -> ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) )
9994, 98ifeq12d 4106 . . . . . . . . 9 |- ( ( n = m /\ y e. RR ) -> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) )
10099mpteq2dva 4744 . . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
101100cbvmptv 4750 . . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
10267, 101eqtri 2644 . . . . . 6 |- D = ( m e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
103 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( s = t -> ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` s ) = ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) )
104 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( s = t -> ( s - X ) = ( t - X ) )
105104fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( s = t -> ( ( D ` n ) ` ( s - X ) ) = ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) )
106103, 105oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( s = t -> ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` s ) x. ( ( D ` n ) ` ( s - X ) ) ) = ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) )
107106cbvmptv 4750 . . . . . 6 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` s ) x. ( ( D ` n ) ` ( s - X ) ) ) ) = ( t e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) )
10833adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Q e. ( P ` M ) )
10932adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. NN )
110 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
11164adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. RR )
11237adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
11350adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
11453adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
11556adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
116102, 31, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115fourierdlem101 40424 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u pi [,] pi ) ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) _d y )
117 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( s = y -> ( X + s ) = ( X + y ) )
118117fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( s = y -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + y ) ) )
119 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( s = y -> ( ( D ` n ) ` s ) = ( ( D ` n ) ` y ) )
120118, 119oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( s = y -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) )
121120cbvitgv 23543 . . . . . . 7 |- S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) _d y
122121a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) _d y )
12323a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u pi e. RR )
124123, 64resubcld 10458 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u pi - X ) e. RR )
125124adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u pi - X ) e. RR )
12622a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi e. RR )
127126, 64resubcld 10458 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( pi - X ) e. RR )
128127adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( pi - X ) e. RR )
12936adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> F : RR --> CC )
13064adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> X e. RR )
131 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) )
132124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( -u pi - X ) e. RR )
133127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( pi - X ) e. RR )
134 elicc2 12238 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u pi - X ) e. RR /\ ( pi - X ) e. RR ) -> ( y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) <-> ( y e. RR /\ ( -u pi - X ) <_ y /\ y <_ ( pi - X ) ) ) )
135132, 133, 134syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) <-> ( y e. RR /\ ( -u pi - X ) <_ y /\ y <_ ( pi - X ) ) ) )
136131, 135mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( y e. RR /\ ( -u pi - X ) <_ y /\ y <_ ( pi - X ) ) )
137136simp1d 1073 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> y e. RR )
138130, 137readdcld 10069 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + y ) e. RR )
139129, 138ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( F ` ( X + y ) ) e. CC )
140139adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( F ` ( X + y ) ) e. CC )
14177ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
142137adantlr 751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> y e. RR )
143141, 142ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( ( D ` n ) ` y ) e. RR )
144143recnd 10068 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( ( D ` n ) ` y ) e. CC )
145140, 144mulcld 10060 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( ( F ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) e. CC )
146125, 128, 145itgioo 23582 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) _d y = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) _d y )
14723a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> -u pi e. RR )
14822a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> pi e. RR )
14964recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. CC )
150126recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> pi e. CC )
151150negcld 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u pi e. CC )
152149, 151pncan3d 10395 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + ( -u pi - X ) ) = -u pi )
153152eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u pi = ( X + ( -u pi - X ) ) )
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> -u pi = ( X + ( -u pi - X ) ) )
155136simp2d 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( -u pi - X ) <_ y )
156132, 137, 130, 155leadd2dd 10642 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + ( -u pi - X ) ) <_ ( X + y ) )
157154, 156eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> -u pi <_ ( X + y ) )
158136simp3d 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> y <_ ( pi - X ) )
159137, 133, 130, 158leadd2dd 10642 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + y ) <_ ( X + ( pi - X ) ) )
160149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> X e. CC )
161150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> pi e. CC )
162160, 161pncan3d 10395 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + ( pi - X ) ) = pi )
163159, 162breqtrd 4679 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + y ) <_ pi )
164147, 148, 138, 157, 163eliccd 39726 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + y ) e. ( -u pi [,] pi ) )
165 fvres 6207 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X + y ) e. ( -u pi [,] pi ) -> ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` ( X + y ) ) = ( F ` ( X + y ) ) )
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` ( X + y ) ) = ( F ` ( X + y ) ) )
167166eqcomd 2628 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( F ` ( X + y ) ) = ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` ( X + y ) ) )
168167adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( F ` ( X + y ) ) = ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` ( X + y ) ) )
169168oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( ( F ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) = ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) )
170169itgeq2dv 23548 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) _d y = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) _d y )
171122, 146, 1703eqtrrd 2661 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` ( X + y ) ) x. ( ( D ` n ) ` y ) ) _d y = S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
172116, 171eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u pi [,] pi ) ( ( ( F |` ( -u pi [,] pi ) ) ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t = S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
17385, 90, 1723eqtrd 2660 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` n ) ` ( t - X ) ) ) _d t = S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
174 elioore 12205 . . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) -> s e. RR )
175174adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> s e. RR )
17636adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> F : RR --> CC )
17764adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> X e. RR )
178174adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> s e. RR )
179177, 178readdcld 10069 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
180176, 179ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
181180adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
18277ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
183182, 175ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
184183recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. CC )
185181, 184mulcld 10060 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. CC )
186 fourierdlem111.g . . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. RR |-> ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) )
187 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = s -> ( X + x ) = ( X + s ) )
188187fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = s -> ( F ` ( X + x ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
189 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = s -> ( ( D ` n ) ` x ) = ( ( D ` n ) ` s ) )
190188, 189oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
191190cbvmptv 4750 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) ) = ( s e. RR |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
192186, 191eqtri 2644 . . . . . . . . 9 |- G = ( s e. RR |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
193192fvmpt2 6291 . . . . . . . 8 |- ( ( s e. RR /\ ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. CC ) -> ( G ` s ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
194175, 185, 193syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> ( G ` s ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
195194eqcomd 2628 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( G ` s ) )
196195itgeq2dv 23548 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( G ` s ) _d s )
19736adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> F : RR --> CC )
19864adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> X e. RR )
199 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
200198, 199readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( X + x ) e. RR )
201197, 200ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( X + x ) ) e. CC )
202201adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( X + x ) ) e. CC )
20377adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
204203ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` x ) e. RR )
205204recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` x ) e. CC )
206202, 205mulcld 10060 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) e. CC )
207206, 186fmptd 6385 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : RR --> CC )
208207adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> G : RR --> CC )
209124adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( -u pi - X ) e. RR )
210127adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( pi - X ) e. RR )
211 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) )
212 eliccre 39728 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u pi - X ) e. RR /\ ( pi - X ) e. RR /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> s e. RR )
213209, 210, 211, 212syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> s e. RR )
214213adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> s e. RR )
215208, 214ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( G ` s ) e. CC )
216125, 128, 215itgioo 23582 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( G ` s ) _d s = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` s ) _d s )
217 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( s = x -> ( G ` s ) = ( G ` x ) )
218217cbvitgv 23543 . . . . . 6 |- S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` s ) _d s = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` x ) _d x
219216, 218syl6eq 2672 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( G ` s ) _d s = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` x ) _d x )
220196, 219eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` x ) _d x )
221 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) = ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) )
222111renegcld 10457 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u X e. RR )
223 fourierdlem111.o . . . . . . 7 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi - X ) /\ ( p ` m ) = ( pi - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
22431fourierdlem2 40326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
22532, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
22633, 225mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
227226simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
228 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
229227, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
230229ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
23164adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR )
232230, 231resubcld 10458 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( Q ` i ) - X ) e. RR )
233 fourierdlem111.14 . . . . . . . . . . . 12 |- W = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` i ) - X ) )
234232, 233fmptd 6385 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W : ( 0 ... M ) --> RR )
235 reex 10027 . . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
236 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... M ) e. _V
237235, 236pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( RR e. _V /\ ( 0 ... M ) e. _V )
238 elmapg 7870 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR e. _V /\ ( 0 ... M ) e. _V ) -> ( W e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> W : ( 0 ... M ) --> RR ) )
239237, 238mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( W e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> W : ( 0 ... M ) --> RR ) )
240234, 239mpbird 247 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
241233a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` i ) - X ) ) )
242 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 0 -> ( Q ` i ) = ( Q ` 0 ) )
243226simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
244243simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) )
245244simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
246242, 245sylan9eqr 2678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( Q ` i ) = -u pi )
247246oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( Q ` i ) - X ) = ( -u pi - X ) )
248 0zd 11389 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
24932nnzd 11481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ZZ )
250 0red 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> 0 e. RR )
251 nnre 11027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> M e. RR )
252 nngt0 11049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> 0 < M )
253250, 251, 252ltled 10185 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN -> 0 <_ M )
25432, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 <_ M )
255 eluz2 11693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
256248, 249, 254, 255syl3anbrc 1246 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
257 eluzfz1 12348 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
258256, 257syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
259241, 247, 258, 124fvmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( W ` 0 ) = ( -u pi - X ) )
260 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = M -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
261244simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Q ` M ) = pi )
262260, 261sylan9eqr 2678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i = M ) -> ( Q ` i ) = pi )
263262oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i = M ) -> ( ( Q ` i ) - X ) = ( pi - X ) )
264 eluzfz2 12349 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
265256, 264syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
266241, 263, 265, 127fvmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( W ` M ) = ( pi - X ) )
267259, 266jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( W ` 0 ) = ( -u pi - X ) /\ ( W ` M ) = ( pi - X ) ) )
268229adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
269 elfzofz 12485 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
270269adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
271268, 270ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
272 fzofzp1 12565 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
273272adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
274268, 273ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
27564adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
276243simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
277276r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
278271, 274, 275, 277ltsub1dd 10639 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) - X ) < ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) )
279270, 232syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) - X ) e. RR )
280233fvmpt2 6291 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( Q ` i ) - X ) e. RR ) -> ( W ` i ) = ( ( Q ` i ) - X ) )
281270, 279, 280syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) = ( ( Q ` i ) - X ) )
282 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = j -> ( Q ` i ) = ( Q ` j ) )
283282oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = j -> ( ( Q ` i ) - X ) = ( ( Q ` j ) - X ) )
284283cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` i ) - X ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) - X ) )
285233, 284eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 |- W = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) - X ) )
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> W = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) - X ) ) )
287 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( Q ` j ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
288287oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( Q ` j ) - X ) = ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) )
289288adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( Q ` j ) - X ) = ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) )
290274, 275resubcld 10458 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
291286, 289, 273, 290fvmptd 6288 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) = ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) )
292278, 281, 2913brtr4d 4685 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) < ( W ` ( i + 1 ) ) )
293292ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( W ` i ) < ( W ` ( i + 1 ) ) )
294240, 267, 293jca32 558 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( W e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( W ` 0 ) = ( -u pi - X ) /\ ( W ` M ) = ( pi - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( W ` i ) < ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) )
295223fourierdlem2 40326 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( W e. ( O ` M ) <-> ( W e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( W ` 0 ) = ( -u pi - X ) /\ ( W ` M ) = ( pi - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( W ` i ) < ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
29632, 295syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( W e. ( O ` M ) <-> ( W e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( W ` 0 ) = ( -u pi - X ) /\ ( W ` M ) = ( pi - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( W ` i ) < ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
297294, 296mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. ( O ` M ) )
298297adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. ( O ` M ) )
299150, 151, 149nnncan2d 10427 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) = ( pi - -u pi ) )
300 picn 24211 . . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
3013002timesi 11147 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
302 fourierdlem111.t . . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( 2 x. pi )
303300, 300subnegi 10360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi - -u pi ) = ( pi + pi )
304301, 302, 3033eqtr4i 2654 . . . . . . . . . . . 12 |- T = ( pi - -u pi )
305299, 304syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) = T )
306305oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x + ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) ) = ( x + T ) )
307306fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( x + ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) ) ) = ( G ` ( x + T ) ) )
308307ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` ( x + ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) ) ) = ( G ` ( x + T ) ) )
309 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
310186fvmpt2 6291 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) e. CC ) -> ( G ` x ) = ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) )
311309, 206, 310syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) )
312149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> X e. CC )
313199recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
314 2re 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
315314, 22remulcli 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 x. pi ) e. RR
316302, 315eqeltri 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- T e. RR
317316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> T e. RR )
318317recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> T e. CC )
319318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> T e. CC )
320312, 313, 319addassd 10062 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( X + x ) + T ) = ( X + ( x + T ) ) )
321320eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( X + ( x + T ) ) = ( ( X + x ) + T ) )
322321fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) = ( F ` ( ( X + x ) + T ) ) )
323 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ph )
324323, 200jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ph /\ ( X + x ) e. RR ) )
325 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( X + x ) -> ( s e. RR <-> ( X + x ) e. RR ) )
326325anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = ( X + x ) -> ( ( ph /\ s e. RR ) <-> ( ph /\ ( X + x ) e. RR ) ) )
327 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( X + x ) -> ( s + T ) = ( ( X + x ) + T ) )
328327fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( X + x ) -> ( F ` ( s + T ) ) = ( F ` ( ( X + x ) + T ) ) )
329 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( X + x ) -> ( F ` s ) = ( F ` ( X + x ) ) )
330328, 329eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = ( X + x ) -> ( ( F ` ( s + T ) ) = ( F ` s ) <-> ( F ` ( ( X + x ) + T ) ) = ( F ` ( X + x ) ) ) )
331326, 330imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = ( X + x ) -> ( ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( F ` ( s + T ) ) = ( F ` s ) ) <-> ( ( ph /\ ( X + x ) e. RR ) -> ( F ` ( ( X + x ) + T ) ) = ( F ` ( X + x ) ) ) ) )
332 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = s -> ( x e. RR <-> s e. RR ) )
333332anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = s -> ( ( ph /\ x e. RR ) <-> ( ph /\ s e. RR ) ) )
334 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = s -> ( x + T ) = ( s + T ) )
335334fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = s -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( s + T ) ) )
336 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = s -> ( F ` x ) = ( F ` s ) )
337335, 336eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = s -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( s + T ) ) = ( F ` s ) ) )
338333, 337imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = s -> ( ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( F ` ( s + T ) ) = ( F ` s ) ) ) )
339 fourierdlem111.fper . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
340338, 339chvarv 2263 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( F ` ( s + T ) ) = ( F ` s ) )
341331, 340vtoclg 3266 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X + x ) e. RR -> ( ( ph /\ ( X + x ) e. RR ) -> ( F ` ( ( X + x ) + T ) ) = ( F ` ( X + x ) ) ) )
342200, 324, 341sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( ( X + x ) + T ) ) = ( F ` ( X + x ) ) )
343322, 342eqtr2d 2657 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( X + x ) ) = ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) )
344343adantlr 751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( X + x ) ) = ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) )
34567, 302dirkerper 40313 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) = ( ( D ` n ) ` x ) )
346345eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` x ) = ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) )
347346adantll 750 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` x ) = ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) )
348344, 347oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) = ( ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) ) )
349192a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> G = ( s e. RR |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
350 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = ( x + T ) -> ( X + s ) = ( X + ( x + T ) ) )
351350fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( x + T ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) )
352 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( x + T ) -> ( ( D ` n ) ` s ) = ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) )
353351, 352oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( x + T ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) ) )
354353adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) /\ s = ( x + T ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) ) )
355316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> T e. RR )
356309, 355readdcld 10069 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( x + T ) e. RR )
357316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> T e. RR )
358199, 357readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x + T ) e. RR )
359198, 358readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( X + ( x + T ) ) e. RR )
360197, 359ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) e. CC )
361360adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) e. CC )
36277ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
363362, 356ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) e. RR )
364363recnd 10068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) e. CC )
365361, 364mulcld 10060 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) ) e. CC )
366349, 354, 356, 365fvmptd 6288 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` ( x + T ) ) = ( ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) ) )
367366eqcomd 2628 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` ( X + ( x + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( x + T ) ) ) = ( G ` ( x + T ) ) )
368311, 348, 3673eqtrrd 2661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` ( x + T ) ) = ( G ` x ) )
369308, 368eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` ( x + ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) ) ) = ( G ` x ) )
370192reseq1i 5392 . . . . . . . . . 10 |- ( G |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
371370a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) )
372 ioossre 12235 . . . . . . . . . 10 |- ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
373 resmpt 5449 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR -> ( ( s e. RR |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
374372, 373ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. RR |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
375371, 374syl6eq 2672 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
376271rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
377376adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
378274rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
379378adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
38064adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
381 elioore 12205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. RR )
382381adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
383380, 382readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
384383adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
385 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = s -> ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) <-> s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) )
386385anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = s -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
387187breq2d 4665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = s -> ( ( Q ` i ) < ( X + x ) <-> ( Q ` i ) < ( X + s ) ) )
388386, 387imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = s -> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( X + x ) ) <-> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( X + s ) ) ) )
389149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. CC )
390281, 279eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) e. RR )
391390recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) e. CC )
392389, 391addcomd 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( W ` i ) ) = ( ( W ` i ) + X ) )
393281oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( W ` i ) + X ) = ( ( ( Q ` i ) - X ) + X ) )
394271recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. CC )
395394, 389npcand 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - X ) + X ) = ( Q ` i ) )
396392, 393, 3953eqtrrd 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( X + ( W ` i ) ) )
397396adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) = ( X + ( W ` i ) ) )
398390adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` i ) e. RR )
399 elioore 12205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -> x e. RR )
400399adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
40164ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
402390rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) e. RR* )
403402adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` i ) e. RR* )
404291, 290eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR )
405404rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
406405adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
407 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
408 ioogtlb 39717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( W ` i ) e. RR* /\ ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` i ) < x )
409403, 406, 407, 408syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` i ) < x )
410398, 400, 401, 409ltadd2dd 10196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( W ` i ) ) < ( X + x ) )
411397, 410eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( X + x ) )
412388, 411chvarv 2263 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( X + s ) )
413187breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = s -> ( ( X + x ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( X + s ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
414386, 413imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = s -> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
415404adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR )
416 iooltub 39735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( W ` i ) e. RR* /\ ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x < ( W ` ( i + 1 ) ) )
417403, 406, 407, 416syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x < ( W ` ( i + 1 ) ) )
418400, 415, 401, 417ltadd2dd 10196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) < ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
419404recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. CC )
420389, 419addcomd 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( W ` ( i + 1 ) ) + X ) )
421291oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( W ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) )
422274recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. CC )
423422, 389npcand 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
424420, 421, 4233eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
425424adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
426418, 425breqtrd 4679 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
427414, 426chvarv 2263 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
428377, 379, 384, 412, 427eliood 39720 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
429187cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) = ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + s ) )
430429a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) = ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + s ) ) )
431 ioossre 12235 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
43311, 432feqresmpt 6250 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` x ) ) )
434433adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` x ) ) )
435 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( X + s ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( X + s ) ) )
436428, 430, 434, 435fmptco 6396 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) o. ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ) = ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
437 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC |-> ( X + x ) ) = ( x e. CC |-> ( X + x ) )
438 ssid 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC C_ CC
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> CC C_ CC )
440439, 149, 439constcncfg 40084 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. CC |-> X ) e. ( CC -cn-> CC ) )
441 cncfmptid 22715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. CC |-> x ) e. ( CC -cn-> CC ) )
442438, 438, 441mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC |-> x ) e. ( CC -cn-> CC )
443442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. CC |-> x ) e. ( CC -cn-> CC ) )
444440, 443addcncf 40086 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( X + x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
445444adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. CC |-> ( X + x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
446 ioosscn 39716 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
447446a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
448 ioosscn 39716 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
449448a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
450376adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
451378adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
45264adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
453399adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
454452, 453readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) e. RR )
455454adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) e. RR )
456450, 451, 455, 411, 426eliood 39720 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
457437, 445, 447, 449, 456cncfmptssg 40083 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) e. ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
458457, 49cncfco 22710 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) o. ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ) e. ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
459436, 458eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
460459adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
461 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( s e. RR |-> ( ( D ` n ) ` s ) )
46277feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( D ` n ) = ( s e. RR |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) )
463 cncfss 22702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( RR -cn-> RR ) C_ ( RR -cn-> CC ) )
46434, 438, 463mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR -cn-> RR ) C_ ( RR -cn-> CC )
46567dirkercncf 40324 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )
466464, 465sseldi 3601 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> CC ) )
467462, 466eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( s e. RR |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
468372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
469438a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> CC C_ CC )
470 cncff 22696 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D ` n ) e. ( RR -cn-> CC ) -> ( D ` n ) : RR --> CC )
471466, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( D ` n ) : RR --> CC )
472471adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( D ` n ) : RR --> CC )
473381adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
474472, 473ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. CC )
475461, 467, 468, 469, 474cncfmptssg 40083 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
476475ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
477460, 476mulcncf 23215 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
478375, 477eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
479453, 201syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + x ) ) e. CC )
480479adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + x ) ) e. CC )
481 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) )
482480, 481fmptd 6385 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) : ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
483482adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) : ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
48477ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
485372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
486484, 485fssresd 6071 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
48734a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> RR C_ CC )
488486, 487fssd 6057 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
489 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) )
490 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : RR --> CC -> dom F = RR )
49136, 490syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom F = RR )
492431, 491syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F )
493 ssdmres 5420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F <-> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
494492, 493sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
495494eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
496495ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
497456, 496eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) e. dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
498271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
499498, 411gtned 10172 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) =/= ( Q ` i ) )
500 eldifsn 4317 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X + x ) e. ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` i ) } ) <-> ( ( X + x ) e. dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( X + x ) =/= ( Q ` i ) ) )
501497, 499, 500sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) e. ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` i ) } ) )
502501ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A. x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ( X + x ) e. ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` i ) } ) )
503 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) )
504503rnmptss 6392 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ( X + x ) e. ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` i ) } ) -> ran ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) C_ ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` i ) } ) )
505502, 504syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ran ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) C_ ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` i ) } ) )
506 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) )
507 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( W ` i ) -> ( X + x ) = ( X + ( W ` i ) ) )
508507adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x = ( W ` i ) ) -> ( X + x ) = ( X + ( W ` i ) ) )
509390leidd 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) <_ ( W ` i ) )
510390, 404, 292ltled 10185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) <_ ( W ` ( i + 1 ) ) )
511390, 404, 390, 509, 510eliccd 39726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
512396, 271eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( W ` i ) ) e. RR )
513506, 508, 511, 512fvmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` ( W ` i ) ) = ( X + ( W ` i ) ) )
514396eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( W ` i ) ) = ( Q ` i ) )
515513, 514eqtr2d 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` ( W ` i ) ) )
516390, 404iccssred 39727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
517516, 34syl6ss 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
518517resmptd 5452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) )
519 rescncf 22700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( X + x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
520517, 445, 519sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
521518, 520eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) e. ( ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
522521, 511cnlimci 23653 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` ( W ` i ) ) e. ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
523515, 522eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
524 ioossicc 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) )
525 resmpt 5449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) )
526524, 525ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) )
527526eqcomi 2631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) = ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
528527a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) = ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) )
529528oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` i ) ) = ( ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
530149ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. CC )
531390adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` i ) e. RR )
532404adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR )
533 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
534 eliccre 39728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( W ` i ) e. RR /\ ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR /\ x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
535531, 532, 533, 534syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
536535recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x e. CC )
537530, 536addcld 10059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) e. CC )
538 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) )
539537, 538fmptd 6385 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) : ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
540390, 404, 292, 539limciccioolb 39853 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) = ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
541529, 540eqtr2d 2657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` i ) ) = ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
542523, 541eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
543505, 542, 51limccog 39852 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) o. ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
54436, 432fssresd 6071 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
545544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
546456, 503fmptd 6385 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) : ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) --> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
547 fcompt 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC /\ ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) : ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) --> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) o. ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ) = ( y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` y ) ) ) )
548545, 546, 547syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) o. ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ) = ( y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` y ) ) ) )
549 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) )
550 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( X + x ) = ( X + y ) )
551550adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x = y ) -> ( X + x ) = ( X + y ) )
552 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
55364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
554372, 552sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
555553, 554readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + y ) e. RR )
556549, 551, 552, 555fvmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` y ) = ( X + y ) )
557556fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` y ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + y ) ) )
558557adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` y ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + y ) ) )
559376adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
560378adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
561555adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + y ) e. RR )
562396adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) = ( X + ( W ` i ) ) )
563390adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` i ) e. RR )
564554adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
56564ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
566402adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` i ) e. RR* )
567405adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
568 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
569 ioogtlb 39717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( W ` i ) e. RR* /\ ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` i ) < y )
570566, 567, 568, 569syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` i ) < y )
571563, 564, 565, 570ltadd2dd 10196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( W ` i ) ) < ( X + y ) )
572562, 571eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( X + y ) )
573404adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR )
574 iooltub 39735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( W ` i ) e. RR* /\ ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> y < ( W ` ( i + 1 ) ) )
575566, 567, 568, 574syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> y < ( W ` ( i + 1 ) ) )
576564, 573, 565, 575ltadd2dd 10196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + y ) < ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
577424adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
578576, 577breqtrd 4679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + y ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
579559, 560, 561, 572, 578eliood 39720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + y ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
580 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X + y ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + y ) ) = ( F ` ( X + y ) ) )
581579, 580syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + y ) ) = ( F ` ( X + y ) ) )
582558, 581eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` y ) ) = ( F ` ( X + y ) ) )
583582mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` y ) ) ) = ( y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + y ) ) ) )
584550fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( F ` ( X + x ) ) = ( F ` ( X + y ) ) )
585584cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) = ( y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + y ) ) )
586583, 585syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( y e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` y ) ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) )
587548, 586eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) o. ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) )
588587oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) o. ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) = ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
589543, 588eleqtrd 2703 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
590589adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
591 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W ` i ) e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( W ` i ) ) = ( ( D ` n ) ` ( W ` i ) ) )
592511, 591syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( W ` i ) ) = ( ( D ` n ) ` ( W ` i ) ) )
593592eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) ` ( W ` i ) ) = ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( W ` i ) ) )
594593adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) ` ( W ` i ) ) = ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( W ` i ) ) )
595516adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
596465ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )
597 rescncf 22700 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR -> ( ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) -> ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
598595, 596, 597sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
599511adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
600598, 599cnlimci 23653 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( W ` i ) ) e. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
601594, 600eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) ` ( W ` i ) ) e. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
602524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
603602resabs1d 5428 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) )
604603eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) )
605604oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) = ( ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
606605adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) = ( ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
607390adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) e. RR )
608404adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. RR )
609292adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` i ) < ( W ` ( i + 1 ) ) )
610471ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` n ) : RR --> CC )
611610, 595fssresd 6071 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
612607, 608, 609, 611limciccioolb 39853 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) = ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
613606, 612eqtr2d 2657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) = ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
614601, 613eleqtrd 2703 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) ` ( W ` i ) ) e. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
615483, 488, 489, 590, 614mullimcf 39855 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( R x. ( ( D ` n ) ` ( W ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
616 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) = ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) )
617188adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x = s ) -> ( F ` ( X + x ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
618 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
61936adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> F : RR --> CC )
620619, 383ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
621620adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
622616, 617, 618, 621fvmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) = ( F ` ( X + s ) ) )
623622adantllr 755 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) = ( F ` ( X + s ) ) )
624 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) = ( ( D ` n ) ` s ) )
625624adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) = ( ( D ` n ) ` s ) )
626623, 625oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
627626eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) )
628627mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) ) )
629375, 628eqtr2d 2657 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( G |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) )
630629oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) = ( ( G |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
631615, 630eleqtrd 2703 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( R x. ( ( D ` n ) ` ( W ` i ) ) ) e. ( ( G |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` i ) ) )
632455, 426ltned 10173 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) =/= ( Q ` ( i + 1 ) ) )
633 eldifsn 4317 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X + x ) e. ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) <-> ( ( X + x ) e. dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( X + x ) =/= ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
634497, 632, 633sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + x ) e. ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
635634ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A. x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ( X + x ) e. ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
636503rnmptss 6392 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ( X + x ) e. ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) -> ran ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) C_ ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
637635, 636syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ran ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) C_ ( dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) \ { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
638404leidd 10594 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) <_ ( W ` ( i + 1 ) ) )
639390, 404, 404, 510, 638eliccd 39726 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
640521, 639cnlimci 23653 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
641 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( W ` ( i + 1 ) ) -> ( X + x ) = ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
642641adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x = ( W ` ( i + 1 ) ) ) -> ( X + x ) = ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
643275, 404readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) e. RR )
644506, 642, 639, 643fvmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( X + ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
645644, 424eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
646528oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
647390, 404, 292, 539limcicciooub 39869 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
648646, 647eqtr2d 2657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
649640, 645, 6483eltr3d 2715 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
650637, 649, 54limccog 39852 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) o. ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
651587oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) o. ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
652650, 651eleqtrd 2703 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
653652adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
654639adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
655598, 654cnlimci 23653 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
656 fvres 6207 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W ` ( i + 1 ) ) e. ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( D ` n ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
657654, 656syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( D ` n ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
658607, 608, 609, 611limcicciooub 39869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
659658eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
660 resabs1 5427 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) )
661524, 660mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) )
662661oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
663659, 662eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) [,] ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
664655, 657, 6633eltr3d 2715 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` n ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
665483, 488, 489, 653, 664mullimcf 39855 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( L x. ( ( D ` n ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
666629oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( x e. ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + x ) ) ) ` s ) x. ( ( ( D ` n ) |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( G |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
667665, 666eleqtrd 2703 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( L x. ( ( D ` n ) ` ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( G |` ( ( W ` i ) (,) ( W ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( W ` ( i + 1 ) ) ) )
668125, 128, 221, 222, 223, 109, 298, 207, 369, 478, 631, 667fourierdlem110 40433 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( ( -u pi - X ) - -u X ) [,] ( ( pi - X ) - -u X ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` x ) _d x )
669668eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( ( ( -u pi - X ) - -u X ) [,] ( ( pi - X ) - -u X ) ) ( G ` x ) _d x )
670124recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u pi - X ) e. CC )
671670, 149subnegd 10399 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi - X ) - -u X ) = ( ( -u pi - X ) + X ) )
672151, 149npcand 10396 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi - X ) + X ) = -u pi )
673671, 672eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( -u pi - X ) - -u X ) = -u pi )
674127recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( pi - X ) e. CC )
675674, 149subnegd 10399 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( pi - X ) - -u X ) = ( ( pi - X ) + X ) )
676150, 149npcand 10396 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( pi - X ) + X ) = pi )
677675, 676eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( pi - X ) - -u X ) = pi )
678673, 677oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( -u pi - X ) - -u X ) [,] ( ( pi - X ) - -u X ) ) = ( -u pi [,] pi ) )
679678itgeq1d 40172 . . . . . 6 |- ( ph -> S. ( ( ( -u pi - X ) - -u X ) [,] ( ( pi - X ) - -u X ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( -u pi [,] pi ) ( G ` x ) _d x )
680679adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( ( -u pi - X ) - -u X ) [,] ( ( pi - X ) - -u X ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( -u pi [,] pi ) ( G ` x ) _d x )
681669, 680eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( -u pi [,] pi ) ( G ` x ) _d x )
682 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( x = s -> ( G ` x ) = ( G ` s ) )
683682cbvitgv 23543 . . . . 5 |- S. ( -u pi (,) pi ) ( G ` x ) _d x = S. ( -u pi (,) pi ) ( G ` s ) _d s
684207adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( -u pi [,] pi ) ) -> G : RR --> CC )
68528adantlr 751 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( -u pi [,] pi ) ) -> x e. RR )
686684, 685ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
68771, 72, 686itgioo 23582 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u pi (,) pi ) ( G ` x ) _d x = S. ( -u pi [,] pi ) ( G ` x ) _d x )
688 elioore 12205 . . . . . . . 8 |- ( s e. ( -u pi (,) pi ) -> s e. RR )
689688adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> s e. RR )
69036adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> F : RR --> CC )
69164adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> X e. RR )
692688adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> s e. RR )
693691, 692readdcld 10069 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( X + s ) e. RR )
694690, 693ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
695694adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
69677ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
697696, 689ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
698697recnd 10068 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. CC )
699695, 698mulcld 10060 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. CC )
700689, 699, 193syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( G ` s ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
701700itgeq2dv 23548 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u pi (,) pi ) ( G ` s ) _d s = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
702683, 687, 7013eqtr3a 2680 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u pi [,] pi ) ( G ` x ) _d x = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
703220, 681, 7023eqtrd 2660 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( ( -u pi - X ) (,) ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
70470, 173, 7033eqtrd 2660 . 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
70572renegcld 10457 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u pi e. RR )
706 0red 10041 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR )
707 0re 10040 . . . . . 6 |- 0 e. RR
708 negpilt0 39492 . . . . . 6 |- -u pi < 0
70923, 707, 708ltleii 10160 . . . . 5 |- -u pi <_ 0
710709a1i 11 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u pi <_ 0 )
711 pipos 24212 . . . . . 6 |- 0 < pi
712707, 22, 711ltleii 10160 . . . . 5 |- 0 <_ pi
713712a1i 11 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ pi )
71471, 72, 706, 710, 713eliccd 39726 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. ( -u pi [,] pi ) )
715 ioossicc 12259 . . . . 5 |- ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 )
716715a1i 11 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 ) )
717 ioombl 23333 . . . . 5 |- ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol
718717a1i 11 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol )
71936adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> F : RR --> CC )
72064adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> X e. RR )
72123a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( -u pi [,] 0 ) -> -u pi e. RR )
722 0red 10041 . . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( -u pi [,] 0 ) -> 0 e. RR )
723 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( -u pi [,] 0 ) -> s e. ( -u pi [,] 0 ) )
724 eliccre 39728 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> s e. RR )
725721, 722, 723, 724syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( s e. ( -u pi [,] 0 ) -> s e. RR )
726725adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> s e. RR )
727720, 726readdcld 10069 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( X + s ) e. RR )
728719, 727ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
729728adantlr 751 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
73077ad2antlr 763 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
731725adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> s e. RR )
732730, 731ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
733732recnd 10068 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. CC )
734729, 733mulcld 10060 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. CC )
735731, 734, 193syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( G ` s ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
736735eqcomd 2628 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( G ` s ) )
737736mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( s e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( G ` s ) ) )
738305oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s + ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) ) = ( s + T ) )
739738ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( s + ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) ) = ( s + T ) )
740739fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( G ` ( s + ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) ) ) = ( G ` ( s + T ) ) )
741186a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> G = ( x e. RR |-> ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) ) )
742 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( s + T ) -> ( X + x ) = ( X + ( s + T ) ) )
743742fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( s + T ) -> ( F ` ( X + x ) ) = ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) )
744 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( s + T ) -> ( ( D ` n ) ` x ) = ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) )
745743, 744oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( s + T ) -> ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) = ( ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) ) )
746745adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) /\ x = ( s + T ) ) -> ( ( F ` ( X + x ) ) x. ( ( D ` n ) ` x ) ) = ( ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) ) )
747 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. RR )
748316a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> T e. RR )
749747, 748readdcld 10069 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( s + T ) e. RR )
750749adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( s + T ) e. RR )
75136adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> F : RR --> CC )
75264adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> X e. RR )
753752, 749readdcld 10069 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( X + ( s + T ) ) e. RR )
754751, 753ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) e. CC )
755754adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) e. CC )
75677ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
757756, 750ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) e. RR )
758757recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) e. CC )
759755, 758mulcld 10060 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) ) e. CC )
760741, 746, 750, 759fvmptd 6288 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( G ` ( s + T ) ) = ( ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) ) )
761149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> X e. CC )
762747recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
763318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> T e. CC )
764761, 762, 763addassd 10062 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ( X + s ) + T ) = ( X + ( s + T ) ) )
765764eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( X + ( s + T ) ) = ( ( X + s ) + T ) )
766765fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) = ( F ` ( ( X + s ) + T ) ) )
767752, 747readdcld 10069 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( X + s ) e. RR )
768 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ph )
769768, 767jca 554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ph /\ ( X + s ) e. RR ) )
770 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( X + s ) -> ( x e. RR <-> ( X + s ) e. RR ) )
771770anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( X + s ) -> ( ( ph /\ x e. RR ) <-> ( ph /\ ( X + s ) e. RR ) ) )
772 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( X + s ) -> ( x + T ) = ( ( X + s ) + T ) )
773772fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( X + s ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( ( X + s ) + T ) ) )
774773, 435eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( X + s ) -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( ( X + s ) + T ) ) = ( F ` ( X + s ) ) ) )
775771, 774imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. RR ) -> ( F ` ( ( X + s ) + T ) ) = ( F ` ( X + s ) ) ) ) )
776775, 339vtoclg 3266 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X + s ) e. RR -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. RR ) -> ( F ` ( ( X + s ) + T ) ) = ( F ` ( X + s ) ) ) )
777767, 769, 776sylc 65 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( F ` ( ( X + s ) + T ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
778766, 777eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
779778adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
78067, 302dirkerper 40313 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ s e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) = ( ( D ` n ) ` s ) )
781780adantll 750 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) = ( ( D ` n ) ` s ) )
782779, 781oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
783 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> s e. RR )
784782, 759eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. CC )
785783, 784, 193syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( G ` s ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
786785eqcomd 2628 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( G ` s ) )
787782, 786eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( ( F ` ( X + ( s + T ) ) ) x. ( ( D ` n ) ` ( s + T ) ) ) = ( G ` s ) )
788740, 760, 7873eqtrd 2660 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. RR ) -> ( G ` ( s + ( ( pi - X ) - ( -u pi - X ) ) ) ) = ( G ` s ) )
789 0ltpnf 11956 . . . . . . . 8 |- 0 < +oo
790 pnfxr 10092 . . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
791 elioo2 12216 . . . . . . . . 9 |- ( ( -u pi e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 e. ( -u pi (,) +oo ) <-> ( 0 e. RR /\ -u pi < 0 /\ 0 < +oo ) ) )
79239, 790, 791mp2an 708 . . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( -u pi (,) +oo ) <-> ( 0 e. RR /\ -u pi < 0 /\ 0 < +oo ) )
793707, 708, 789, 792mpbir3an 1244 . . . . . . 7 |- 0 e. ( -u pi (,) +oo )
794793a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. ( -u pi (,) +oo ) )
795223, 221, 109, 298, 207, 788, 478, 631, 667, 71, 794fourierdlem105 40428 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
796737, 795eqeltrd 2701 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
797716, 718, 734, 796iblss 23571 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
798 elioore 12205 . . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) pi ) -> s e. RR )
799798adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) pi ) ) -> s e. RR )
800799, 784syldan 487 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. CC )
801799, 800, 193syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( G ` s ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
802801eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( G ` s ) )
803802mpteq2dva 4744 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) pi ) |-> ( G ` s ) ) )
804 ioossicc 12259 . . . . . 6 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
805804a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
806 ioombl 23333 . . . . . 6 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
807806a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
808207adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 [,] pi ) ) -> G : RR --> CC )
809 0red 10041 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] pi ) ) -> 0 e. RR )
81022a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] pi ) ) -> pi e. RR )
811 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] pi ) ) -> s e. ( 0 [,] pi ) )
812 eliccre 39728 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ s e. ( 0 [,] pi ) ) -> s e. RR )
813809, 810, 811, 812syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] pi ) ) -> s e. RR )
814813adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 [,] pi ) ) -> s e. RR )
815808, 814ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( G ` s ) e. CC )
816 0xr 10086 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
817816a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR* )
818790a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> +oo e. RR* )
819711a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 < pi )
820 ltpnf 11954 . . . . . . . 8 |- ( pi e. RR -> pi < +oo )
82122, 820mp1i 13 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> pi < +oo )
822817, 818, 72, 819, 821eliood 39720 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> pi e. ( 0 (,) +oo ) )
823223, 221, 109, 298, 207, 788, 478, 631, 667, 706, 822fourierdlem105 40428 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( 0 [,] pi ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
824805, 807, 815, 823iblss 23571 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( 0 (,) pi ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
825803, 824eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
826705, 72, 714, 699, 797, 825itgsplitioo 23604 . 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) )
827704, 826eqtrd 2656 1 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   sum_csu 14416   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   lim CC climc 23626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611  df-limc 23630  df-dv 23631
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  40435
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