Theorem fourierdlem101 40424

Description: Integral by substitution for a piecewise continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem101.d	|- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem101.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem101.g	|- G = ( t e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
fourierdlem101.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem101.6	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem101.n	|- ( ph -> N e. NN )
fourierdlem101.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem101.f	|- ( ph -> F : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
fourierdlem101.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem101.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem101.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem101	|- ( ph -> S. ( -u pi [,] pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) _d t = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` s ) ) _d s )

Distinct variable groups:   D, s, t   t, F   i, G, s, t   t, L   i, M, s, t   m, M, p, i   n, N, s   t, N   Q, i, s, t   Q, p   t, R   i, X, s, t   ph, i, s, t   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   D( i, m, n, p)   P( t, i, m, n, s, p)   Q( m, n)   R( i, m, n, s, p)   F( i, m, n, s, p)   G( m, n, p)   L( i, m, n, s, p)   M( n)   N( i, m, p)   X( m, n, p)

Proof of Theorem fourierdlem101

Dummy variables r j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> t e. ( -u pi [,] pi ) )
2		fourierdlem101.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
3	2	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
4		fourierdlem101.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> N e. NN )
6		pire 24210	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
7	6	renegcli 10342	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR
8		eliccre 39728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> t e. RR )
9	7, 6, 8	mp3an12 1414	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( -u pi [,] pi ) -> t e. RR )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> t e. RR )
11		fourierdlem101.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. RR )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> X e. RR )
13	10, 12	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( t - X ) e. RR )
14		fourierdlem101.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
15	14	dirkerre 40312	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( t - X ) e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) e. RR )
16	5, 13, 15	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) e. CC )
18	3, 17	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. CC )
19		fourierdlem101.g	. . . . . 6 |- G = ( t e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
20	19	fvmpt2 6291	. . . . 5 |- ( ( t e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. CC ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
21	1, 18, 20	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( G ` t ) = ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
22	21	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( G ` t ) )
23	22	itgeq2dv 23548	. 2 |- ( ph -> S. ( -u pi [,] pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) _d t = S. ( -u pi [,] pi ) ( G ` t ) _d t )
24		fourierdlem101.p	. . 3 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
25		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )
26	25	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( j = i -> ( ( Q ` j ) - X ) = ( ( Q ` i ) - X ) )
27	26	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) - X ) ) = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` i ) - X ) )
28		fourierdlem101.6	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
29		fourierdlem101.q	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
30	18, 19	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> G : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
31	19	reseq1i 5392	. . . . 5 |- ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( t e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
32		ioossicc 12259	. . . . . . 7 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
33	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR )
34	33	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
35	34	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
36	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR )
37	36	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi e. RR* )
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
39	24, 28, 29	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
41		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
42	35, 38, 40, 41	fourierdlem8 40332	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
43	32, 42	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
44	43	resmptd 5452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( t e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) )
45	31, 44	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) )
46	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
47	46, 43	feqresmpt 6250	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` t ) ) )
48		fourierdlem101.fcn	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
49	47, 48	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` t ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
50		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) = ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) )
51		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ s = ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) ) -> s = ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) )
52		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) = ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) )
53		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = r -> ( t - X ) = ( r - X ) )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ t = r ) -> ( t - X ) = ( r - X ) )
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
56		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> r e. RR )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> r e. RR )
58	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
59	57, 58	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( r - X ) e. RR )
60	59	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( r - X ) e. RR )
61	52, 54, 55, 60	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) = ( r - X ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ s = ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) ) -> ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) = ( r - X ) )
63	51, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ s = ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) ) -> s = ( r - X ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ s = ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) ) -> ( ( D ` N ) ` s ) = ( ( D ` N ) ` ( r - X ) ) )
65		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> t e. RR )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> t e. RR )
67	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
68	66, 67	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( t - X ) e. RR )
69	68	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( t - X ) e. RR )
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) = ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) )
71	69, 70	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
72	71	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) e. RR )
73	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> N e. NN )
74	14	dirkerre 40312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( r - X ) e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( r - X ) ) e. RR )
75	73, 60, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( r - X ) ) e. RR )
76	50, 64, 72, 75	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) ` ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) ) = ( ( D ` N ) ` ( r - X ) ) )
77	76	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( r - X ) ) = ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) ` ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) ) )
78	77	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( r - X ) ) ) = ( r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) ` ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) ) ) )
79	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( t = r -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) = ( ( D ` N ) ` ( r - X ) ) )
80	79	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( r - X ) ) )
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( r - X ) ) ) )
82	14	dirkerre 40312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ s e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` s ) e. RR )
83	4, 82	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` s ) e. RR )
84		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) = ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) )
85	83, 84	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) : RR --> RR )
86	85	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) : RR --> RR )
87		fcompt 6400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) : RR --> RR /\ ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) -> ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) o. ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ) = ( r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) ` ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) ) ) )
88	86, 71, 87	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) o. ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ) = ( r e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) ` ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ` r ) ) ) )
89	78, 81, 88	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) o. ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ) )
90		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( t e. CC |-> ( t - X ) ) = ( t e. CC |-> ( t - X ) )
91		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> t e. CC )
92	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X e. CC )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> X e. CC )
94	91, 93	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> ( t + -u X ) = ( t - X ) )
95	94	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> ( t - X ) = ( t + -u X ) )
96	95	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. CC |-> ( t - X ) ) = ( t e. CC |-> ( t + -u X ) ) )
97	92	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u X e. CC )
98		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. CC |-> ( t + -u X ) ) = ( t e. CC |-> ( t + -u X ) )
99	98	addccncf 22719	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u X e. CC -> ( t e. CC |-> ( t + -u X ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
100	97, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. CC |-> ( t + -u X ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
101	96, 100	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. CC |-> ( t - X ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
102	101	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. CC |-> ( t - X ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
103		ioossre 12235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
104		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
105	103, 104	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
106	105	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
107	104	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> RR C_ CC )
108	90, 102, 106, 107, 69	cncfmptssg 40083	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
109	83	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` s ) e. CC )
110	109, 84	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) : RR --> CC )
111		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- CC C_ CC
112	14	dirkerf 40314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( D ` N ) : RR --> RR )
113	4, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ` N ) : RR --> RR )
114	113	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D ` N ) = ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) )
115	14	dirkercncf 40324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( D ` N ) e. ( RR -cn-> RR ) )
116	4, 115	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D ` N ) e. ( RR -cn-> RR ) )
117	114, 116	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
118		cncffvrn 22701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( CC C_ CC /\ ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) e. ( RR -cn-> RR ) ) -> ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) e. ( RR -cn-> CC ) <-> ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) : RR --> CC ) )
119	111, 117, 118	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) e. ( RR -cn-> CC ) <-> ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) : RR --> CC ) )
120	110, 119	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
121	120	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
122	108, 121	cncfco 22710	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. RR |-> ( ( D ` N ) ` s ) ) o. ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( t - X ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
123	89, 122	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
124	49, 123	mulcncf 23215	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
125	45, 124	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
126		cncff 22696	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
127	48, 126	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
128	113	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( D ` N ) : RR --> RR )
129		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. RR )
130	129	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
131	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
132	130, 131	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( s - X ) e. RR )
133	128, 132	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) e. RR )
134	133	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) e. CC )
135		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) )
136	134, 135	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
137	136	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
138		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) = ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) )
139		fourierdlem101.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
140		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( Q ` i ) -> ( t - X ) = ( ( Q ` i ) - X ) )
141	140	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( Q ` i ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) = ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) )
142	141	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( Q ` i ) -> ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
143	142	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ t = ( Q ` i ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
144		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` i ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) )
145		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( s - X ) = ( t - X ) )
146	145	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = t -> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` i ) ) /\ s = t ) -> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
148		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. { ( Q ` i ) } <-> t = ( Q ` i ) )
149	148	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. t e. { ( Q ` i ) } <-> -. t = ( Q ` i ) )
150		elunnel2 39198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) /\ -. t e. { ( Q ` i ) } ) -> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
151	149, 150	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) /\ -. t = ( Q ` i ) ) -> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
152	151	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` i ) ) -> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
153	113	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( D ` N ) : RR --> RR )
154		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t = ( Q ` i ) ) -> t = ( Q ` i ) )
155	9	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
156		fzossfz 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
157	156, 41	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
158	40, 157	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u pi [,] pi ) )
159	155, 158	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t = ( Q ` i ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
161	154, 160	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t = ( Q ` i ) ) -> t e. RR )
162	161	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ t = ( Q ` i ) ) -> t e. RR )
163	152, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` i ) ) -> t e. RR )
164	162, 163	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> t e. RR )
165	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> X e. RR )
166	164, 165	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( t - X ) e. RR )
167	153, 166	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) e. RR )
168	167	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` i ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) e. RR )
169	144, 147, 152, 168	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` i ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
170	143, 169	ifeqda 4121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> if ( t = ( Q ` i ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
171	170	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> if ( t = ( Q ` i ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) = ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
172	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` N ) : RR --> RR )
173		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) )
174		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) <-> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ s e. { ( Q ` i ) } ) )
175	173, 174	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ s e. { ( Q ` i ) } ) )
176	175	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ s e. { ( Q ` i ) } ) )
177		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s e. { ( Q ` i ) } -> s = ( Q ` i ) )
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. { ( Q ` i ) } ) -> s = ( Q ` i ) )
179	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. { ( Q ` i ) } ) -> ( Q ` i ) e. RR )
180	178, 179	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. { ( Q ` i ) } ) -> s e. RR )
181	180	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. { ( Q ` i ) } -> s e. RR ) )
182	181	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( s e. { ( Q ` i ) } -> s e. RR ) )
183		pm3.44 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. RR ) /\ ( s e. { ( Q ` i ) } -> s e. RR ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ s e. { ( Q ` i ) } ) -> s e. RR ) )
184	129, 182, 183	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ s e. { ( Q ` i ) } ) -> s e. RR ) )
185	176, 184	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> s e. RR )
186	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> X e. RR )
187	185, 186	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( s - X ) e. RR )
188		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) = ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) )
189	187, 188	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) : ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) --> RR )
190		fcompt 6400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D ` N ) : RR --> RR /\ ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) : ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) --> RR ) -> ( ( D ` N ) o. ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ) = ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ` t ) ) ) )
191	172, 189, 190	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` N ) o. ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ) = ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ` t ) ) ) )
192		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) = ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) )
193	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ s = t ) -> ( s - X ) = ( t - X ) )
194		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) )
195	192, 193, 194, 166	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ` t ) = ( t - X ) )
196	195	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ` t ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
197	196	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ` t ) ) ) = ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
198	191, 197	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( D ` N ) o. ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ) )
199		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC |-> ( s - X ) ) = ( s e. CC |-> ( s - X ) )
200		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ s e. CC ) -> s e. CC )
201	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ s e. CC ) -> X e. CC )
202	200, 201	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ s e. CC ) -> ( s + -u X ) = ( s - X ) )
203	202	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ s e. CC ) -> ( s - X ) = ( s + -u X ) )
204	203	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( s e. CC |-> ( s - X ) ) = ( s e. CC |-> ( s + -u X ) ) )
205		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. CC |-> ( s + -u X ) ) = ( s e. CC |-> ( s + -u X ) )
206	205	addccncf 22719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -u X e. CC -> ( s e. CC |-> ( s + -u X ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
207	97, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( s e. CC |-> ( s + -u X ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
208	204, 207	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( s e. CC |-> ( s - X ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
209	208	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. CC |-> ( s - X ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
210	159	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. CC )
211	210	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> { ( Q ` i ) } C_ CC )
212	106, 211	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) C_ CC )
213	199, 209, 212, 107, 187	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) e. ( ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) -cn-> RR ) )
214	114, 120	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( D ` N ) e. ( RR -cn-> CC ) )
215	214	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` N ) e. ( RR -cn-> CC ) )
216	213, 215	cncfco 22710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` N ) o. ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ) e. ( ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) -cn-> CC ) )
217		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
218		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) )
219	217	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
220		unicntop 22589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
221	220	restid 16094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
222	219, 221	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
223	222	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
224	217, 218, 223	cncfcn 22712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
225	212, 111, 224	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
226	216, 225	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` N ) o. ( s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( s - X ) ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
227	198, 226	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
228	217	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
229		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) e. (TopOn ` ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) )
230	228, 212, 229	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) e. (TopOn ` ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) )
231		cncnp 21084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) e. (TopOn ` ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) : ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) --> CC /\ A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) ) ) )
232	230, 228, 231	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) : ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) --> CC /\ A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) ) ) )
233	227, 232	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) : ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) --> CC /\ A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) ) )
234	233	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) )
235		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` i ) )
236		elsng 4191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q ` i ) e. RR -> ( ( Q ` i ) e. { ( Q ` i ) } <-> ( Q ` i ) = ( Q ` i ) ) )
237	159, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) e. { ( Q ` i ) } <-> ( Q ` i ) = ( Q ` i ) ) )
238	235, 237	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. { ( Q ` i ) } )
239	238	olcd 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ ( Q ` i ) e. { ( Q ` i ) } ) )
240		elun 3753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` i ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) <-> ( ( Q ` i ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ ( Q ` i ) e. { ( Q ` i ) } ) )
241	239, 240	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) )
242		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( Q ` i ) -> ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` i ) ) )
243	242	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( Q ` i ) -> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) <-> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` i ) ) ) )
244	243	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) /\ ( Q ` i ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` i ) ) )
245	234, 241, 244	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` i ) ) )
246	171, 245	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> if ( t = ( Q ` i ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` i ) ) )
247		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> if ( t = ( Q ` i ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) = ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> if ( t = ( Q ` i ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) )
248	218, 217, 247, 137, 106, 210	ellimc 23637	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) <-> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) |-> if ( t = ( Q ` i ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` i ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` i ) ) ) )
249	246, 248	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
250	127, 137, 138, 139, 249	mullimcf 39855	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( R x. ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) ) e. ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
251		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) = ( F ` t ) )
252	251	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) = ( F ` t ) )
253	252	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( F ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) )
254	253	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) = ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) )
255	254	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
256	250, 255	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( R x. ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) ) e. ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
257		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) )
258		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ s = t ) -> s = t )
259	258	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ s = t ) -> ( s - X ) = ( t - X ) )
260	259	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ s = t ) -> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
261		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
262	113	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( D ` N ) : RR --> RR )
263	262, 69	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) e. RR )
264	257, 260, 261, 263	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
265	264	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
266	265	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) = ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) )
267	266	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
268	256, 267	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( R x. ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) ) e. ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
269	45	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
270	269	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
271	268, 270	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( R x. ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` i ) - X ) ) ) e. ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
272		fourierdlem101.l	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
273		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
274		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> ( t - X ) = ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) )
275	274	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) = ( t - X ) )
276	275	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
277	273, 276	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
278	277	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
279		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) )
280	279	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) )
281		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) )
282	146	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ s = t ) -> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
283		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) <-> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
284	283	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
285	284	orcomd 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } \/ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
286	285	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } \/ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
287		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } <-> t = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
288	287	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } <-> -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
289	288	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> -. t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } )
290	289	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> -. t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } )
291		pm2.53 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } \/ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( -. t e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } -> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
292	286, 290, 291	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
293	172	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( D ` N ) : RR --> RR )
294	292, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> t e. RR )
295	11	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> X e. RR )
296	294, 295	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( t - X ) e. RR )
297	293, 296	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) e. RR )
298	281, 282, 292, 297	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
299	280, 298	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ -. t = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
300	278, 299	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) -> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) = ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
301	300	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) = ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
302		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. RR |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( t e. RR |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) )
303	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> RR C_ CC )
304		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> t e. RR )
305	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> X e. RR )
306	304, 305	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( t - X ) e. RR )
307	90, 101, 303, 303, 306	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. RR |-> ( t - X ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
308	307, 214	cncfcompt 40096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( t e. RR |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
309	308	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. RR |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
310	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
311		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
312	311	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
313	40, 312	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( -u pi [,] pi ) )
314	155, 313	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
315	314	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> { ( Q ` ( i + 1 ) ) } C_ RR )
316	310, 315	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) C_ RR )
317	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> CC C_ CC )
318	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) -> ( D ` N ) : RR --> RR )
319	316	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) -> t e. RR )
320	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) -> X e. RR )
321	319, 320	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) -> ( t - X ) e. RR )
322	318, 321	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) e. RR )
323	322	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) e. CC )
324	302, 309, 316, 317, 323	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) -cn-> CC ) )
325	155, 104	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u pi [,] pi ) C_ CC
326	325, 313	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. CC )
327	326	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> { ( Q ` ( i + 1 ) ) } C_ CC )
328	106, 327	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) C_ CC )
329		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
330	217, 329, 223	cncfcn 22712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
331	328, 111, 330	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
332	324, 331	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
333		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) e. (TopOn ` ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) )
334	228, 328, 333	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) e. (TopOn ` ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) )
335		cncnp 21084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) e. (TopOn ` ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) : ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) --> CC /\ A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) ) ) )
336	334, 228, 335	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) : ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) --> CC /\ A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) ) ) )
337	332, 336	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) : ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) --> CC /\ A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) ) )
338	337	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) )
339		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
340		elsng 4191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } <-> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
341	314, 340	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } <-> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
342	339, 341	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } )
343	342	olcd 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
344		elun 3753	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) <-> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) \/ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
345	343, 344	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
346		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
347	346	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> ( ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) <-> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
348	347	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. s e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` s ) /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
349	338, 345, 348	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
350	301, 349	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
351		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) = ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) )
352	329, 217, 351, 137, 106, 326	ellimc 23637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( t e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) |-> if ( t = ( Q ` ( i + 1 ) ) , ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
353	350, 352	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
354	127, 137, 138, 272, 353	mullimcf 39855	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( L x. ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) ) e. ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
355	266, 254, 45	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
356	355	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) x. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( D ` N ) ` ( s - X ) ) ) ` t ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
357	354, 356	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( L x. ( ( D ` N ) ` ( ( Q ` ( i + 1 ) ) - X ) ) ) e. ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
358	24, 27, 28, 29, 11, 30, 125, 271, 357	fourierdlem93 40416	. 2 |- ( ph -> S. ( -u pi [,] pi ) ( G ` t ) _d t = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` ( X + s ) ) _d s )
359	19	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> G = ( t e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) ) )
360		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( t = ( X + s ) -> ( F ` t ) = ( F ` ( X + s ) ) )
361	360	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
362	361	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) /\ t = ( X + s ) ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) )
363		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( t = ( X + s ) -> ( t - X ) = ( ( X + s ) - X ) )
364	92	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> X e. CC )
365	33, 11	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -u pi - X ) e. RR )
366	365	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( -u pi - X ) e. RR )
367	36, 11	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( pi - X ) e. RR )
368	367	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( pi - X ) e. RR )
369		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) )
370		eliccre 39728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi - X ) e. RR /\ ( pi - X ) e. RR /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> s e. RR )
371	366, 368, 369, 370	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> s e. RR )
372	371	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> s e. CC )
373	364, 372	pncan2d 10394	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( ( X + s ) - X ) = s )
374	363, 373	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) /\ t = ( X + s ) ) -> ( t - X ) = s )
375	374	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) /\ t = ( X + s ) ) -> ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) = ( ( D ` N ) ` s ) )
376	375	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) /\ t = ( X + s ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` s ) ) )
377	362, 376	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) /\ t = ( X + s ) ) -> ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` s ) ) )
378	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> -u pi e. RR )
379	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> pi e. RR )
380	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> X e. RR )
381	380, 371	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
382	33	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u pi e. CC )
383	92, 382	pncan3d 10395	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X + ( -u pi - X ) ) = -u pi )
384	383	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u pi = ( X + ( -u pi - X ) ) )
385	384	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> -u pi = ( X + ( -u pi - X ) ) )
386		elicc2 12238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u pi - X ) e. RR /\ ( pi - X ) e. RR ) -> ( s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) <-> ( s e. RR /\ ( -u pi - X ) <_ s /\ s <_ ( pi - X ) ) ) )
387	366, 368, 386	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) <-> ( s e. RR /\ ( -u pi - X ) <_ s /\ s <_ ( pi - X ) ) ) )
388	369, 387	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( s e. RR /\ ( -u pi - X ) <_ s /\ s <_ ( pi - X ) ) )
389	388	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( -u pi - X ) <_ s )
390	366, 371, 380, 389	leadd2dd 10642	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + ( -u pi - X ) ) <_ ( X + s ) )
391	385, 390	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> -u pi <_ ( X + s ) )
392	388	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> s <_ ( pi - X ) )
393	371, 368, 380, 392	leadd2dd 10642	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + s ) <_ ( X + ( pi - X ) ) )
394		picn 24211	. . . . . . . 8 |- pi e. CC
395	394	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> pi e. CC )
396	364, 395	pncan3d 10395	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + ( pi - X ) ) = pi )
397	393, 396	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + s ) <_ pi )
398	378, 379, 381, 391, 397	eliccd 39726	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( X + s ) e. ( -u pi [,] pi ) )
399	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> F : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
400	399, 398	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
401	371, 109	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( ( D ` N ) ` s ) e. CC )
402	400, 401	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` s ) ) e. CC )
403	359, 377, 398, 402	fvmptd 6288	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ) -> ( G ` ( X + s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` s ) ) )
404	403	itgeq2dv 23548	. 2 |- ( ph -> S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( G ` ( X + s ) ) _d s = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` s ) ) _d s )
405	23, 358, 404	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> S. ( -u pi [,] pi ) ( ( F ` t ) x. ( ( D ` N ) ` ( t - X ) ) ) _d t = S. ( ( -u pi - X ) [,] ( pi - X ) ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` N ) ` s ) ) _d s )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   sincsin 14794   picpi 14797   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   -cn->ccncf 22679   S.citg 23387   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem111  40434