Theorem musumsum 24918

Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
musumsum.1	|- ( m = 1 -> B = C )
musumsum.2	|- ( ph -> A e. Fin )
musumsum.3	|- ( ph -> A C_ NN )
musumsum.4	|- ( ph -> 1 e. A )
musumsum.5	|- ( ( ph /\ m e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
musumsum	|- ( ph -> sum_ m e. A sum_ k e. { n e. NN | n || m } ( ( mmu ` k ) x. B ) = C )

Distinct variable groups:   k, m, A   k, n, m   ph, k, m   B, k   C, m

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   B( m, n)   C( k, n)

Proof of Theorem musumsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		musumsum.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ NN )
2	1	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> m e. NN )
3		musum 24917	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> sum_ k e. { n e. NN | n || m } ( mmu ` k ) = if ( m = 1 , 1 , 0 ) )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> sum_ k e. { n e. NN | n || m } ( mmu ` k ) = if ( m = 1 , 1 , 0 ) )
5	4	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( sum_ k e. { n e. NN | n || m } ( mmu ` k ) x. B ) = ( if ( m = 1 , 1 , 0 ) x. B ) )
6		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
7		dvdsssfz1 15040	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> { n e. NN | n || m } C_ ( 1 ... m ) )
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> { n e. NN | n || m } C_ ( 1 ... m ) )
9		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ { n e. NN | n || m } C_ ( 1 ... m ) ) -> { n e. NN | n || m } e. Fin )
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> { n e. NN | n || m } e. Fin )
11		musumsum.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> B e. CC )
12		elrabi 3359	. . . . . . . 8 |- ( k e. { n e. NN | n || m } -> k e. NN )
13		mucl 24867	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( mmu ` k ) e. ZZ )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( k e. { n e. NN | n || m } -> ( mmu ` k ) e. ZZ )
15	14	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( k e. { n e. NN | n || m } -> ( mmu ` k ) e. CC )
16	15	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. A ) /\ k e. { n e. NN | n || m } ) -> ( mmu ` k ) e. CC )
17	10, 11, 16	fsummulc1 14517	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( sum_ k e. { n e. NN | n || m } ( mmu ` k ) x. B ) = sum_ k e. { n e. NN | n || m } ( ( mmu ` k ) x. B ) )
18		ovif 6737	. . . . 5 |- ( if ( m = 1 , 1 , 0 ) x. B ) = if ( m = 1 , ( 1 x. B ) , ( 0 x. B ) )
19		velsn 4193	. . . . . . . . 9 |- ( m e. { 1 } <-> m = 1 )
20	19	bicomi 214	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 <-> m e. { 1 } )
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( m = 1 <-> m e. { 1 } ) )
22		mulid2 10038	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( 1 x. B ) = B )
23		mul02 10214	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( 0 x. B ) = 0 )
24	21, 22, 23	ifbieq12d 4113	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> if ( m = 1 , ( 1 x. B ) , ( 0 x. B ) ) = if ( m e. { 1 } , B , 0 ) )
25	11, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m = 1 , ( 1 x. B ) , ( 0 x. B ) ) = if ( m e. { 1 } , B , 0 ) )
26	18, 25	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( if ( m = 1 , 1 , 0 ) x. B ) = if ( m e. { 1 } , B , 0 ) )
27	5, 17, 26	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> sum_ k e. { n e. NN | n || m } ( ( mmu ` k ) x. B ) = if ( m e. { 1 } , B , 0 ) )
28	27	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A sum_ k e. { n e. NN | n || m } ( ( mmu ` k ) x. B ) = sum_ m e. A if ( m e. { 1 } , B , 0 ) )
29		musumsum.4	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. A )
30	29	snssd 4340	. . 3 |- ( ph -> { 1 } C_ A )
31	30	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. { 1 } ) -> m e. A )
32	31, 11	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. { 1 } ) -> B e. CC )
33	32	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. m e. { 1 } B e. CC )
34		musumsum.2	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
35	34	olcd 408	. . 3 |- ( ph -> ( A C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ A e. Fin ) )
36		sumss2 14457	. . 3 |- ( ( ( { 1 } C_ A /\ A. m e. { 1 } B e. CC ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ A e. Fin ) ) -> sum_ m e. { 1 } B = sum_ m e. A if ( m e. { 1 } , B , 0 ) )
37	30, 33, 35, 36	syl21anc 1325	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. { 1 } B = sum_ m e. A if ( m e. { 1 } , B , 0 ) )
38	11	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. A B e. CC )
39		musumsum.1	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> B = C )
40	39	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
41	40	rspcv 3305	. . . 4 |- ( 1 e. A -> ( A. m e. A B e. CC -> C e. CC ) )
42	29, 38, 41	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
43	39	sumsn 14475	. . 3 |- ( ( 1 e. A /\ C e. CC ) -> sum_ m e. { 1 } B = C )
44	29, 42, 43	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. { 1 } B = C )
45	28, 37, 44	3eqtr2d 2662	1 |- ( ph -> sum_ m e. A sum_ k e. { n e. NN | n || m } ( ( mmu ` k ) x. B ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   sum_csu 14416   || cdvds 14983   mmucmu 24821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  25183  dchrvmasum2lem  25185  mudivsum  25219  mulogsum  25221  mulog2sumlem2  25224