Theorem dchrmusum2 25183

Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by n, is bounded, provided that T =/= 0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisumn0.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrisumn0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisumn0.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> T )
dchrisumn0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrmusum2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, y, .1.   x, d, y, C   F, d, x, y   a, d, x, y   x, N, y   ph, d, x   T, d, x, y   x, Z, y   x, D, y   L, a, d, x, y   X, a, d, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   T( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, a, d)   N( a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrmusum2

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11843	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2		ax-1cn 9994	. . . 4 |- 1 e. CC
3		o1const 14350	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. . 3 |- ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1)
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) )
6	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
7		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8		rpvmasum.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
9		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
10		rpvmasum.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
11		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
12		dchrisum.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
14		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. ZZ )
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. ZZ )
16	8, 9, 10, 11, 13, 15	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
17		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
18	17	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
19		mucl 24867	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
20	19	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. RR )
21		nndivre 11056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( mmu ` d ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
22	20, 21	mpancom 703	. . . . . . . 8 |- ( d e. NN -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
23	18, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
24	23	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
25	16, 24	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
26	7, 25	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
27		dchrisumn0.t	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> T )
28		climcl 14230	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> T -> T e. CC )
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> T e. CC )
30	29	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> T e. CC )
31	26, 30	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC )
32	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
33		subcl 10280	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. CC )
34	2, 31, 33	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. CC )
35		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
36		dchrisumn0.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
37		elrege0 12278	. . . . . 6 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
38	36, 37	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
39	38	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
40		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
41	25	adantlrr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
42		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
44	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
45		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
47	8, 9, 10, 11, 44, 46	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
48		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. CC )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
50		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
52	47, 49, 51	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
53		dchrisumn0.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
54		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = m -> a = m )
57	55, 56	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
58	57	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
59	53, 58	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
60	52, 59	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : NN --> CC )
61	60	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
62	42, 43, 61	serf 12829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
64		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
65	64	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
66		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( x / d ) e. RR )
67	65, 17, 66	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR )
68	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
69	68	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. CC )
70	69	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) = d )
71		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
72	65, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
73	72	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d <_ x )
74	70, 73	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) <_ x )
75		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
76	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
77	68	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
78	75, 76, 77	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. d ) <_ x <-> 1 <_ ( x / d ) ) )
79	74, 78	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / d ) )
80		flge1nn 12622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. NN )
81	67, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. NN )
82	63, 81	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) e. CC )
83	41, 82	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) e. CC )
84	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
85	41, 84	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC )
86	40, 83, 85	fsumsub 14520	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
87	41, 82, 84	subdid 10486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
88	87	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
89	12	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> X e. D )
90	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d e. ZZ )
91		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) -> m e. ZZ )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
93	8, 9, 10, 11, 89, 90, 92	dchrzrhmul 24971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
95	16	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
97	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d e. CC )
98	8, 9, 10, 11, 89, 92	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
99		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) -> m e. NN )
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. NN )
101	100	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. CC )
102	68	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d =/= 0 )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d =/= 0 )
104	100	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m =/= 0 )
105	96, 97, 98, 101, 103, 104	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
106	94, 105	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
107	106	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
108	68, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
109	108	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
111	96, 97, 103	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) e. CC )
112	98, 101, 104	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
113	110, 111, 112	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
114	110, 96, 97, 103	div12d 10837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) )
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
116	107, 113, 115	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
117	116	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
118		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) e. Fin )
119		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ph )
120	119, 99, 52	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
121	118, 41, 120	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
122		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. _V
123	57, 53, 122	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
124	100, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
125	81, 42	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
126	124, 125, 120	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) )
127	126	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) )
128	117, 121, 127	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
129	128	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
130		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( d x. m ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( d x. m ) ) )
131	130	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( d x. m ) -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) )
132		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( d x. m ) -> n = ( d x. m ) )
133	131, 132	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
135		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. { y e. NN | y || n } -> d e. NN )
136	135	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> d e. NN )
137	136, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
138	137	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
139	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
140		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ZZ )
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ZZ )
142	8, 9, 10, 11, 139, 141	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
143	17	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN )
145	144	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
146	145	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
147	145	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
148	142, 146, 147	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) e. CC )
149	148	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) e. CC )
150	138, 149	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) e. CC )
151	134, 65, 150	dvdsflsumcom 24914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. { y e. NN | y || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
152		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( L ` n ) = ( L ` 1 ) )
153	152	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` 1 ) ) )
154		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> n = 1 )
155	153, 154	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
156		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
157		flge1nn 12622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
158	65, 156, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
159	158, 42	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
160		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
161	159, 160	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
162	155, 40, 144, 161, 148	musumsum 24918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. { y e. NN | y || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
163	129, 151, 162	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
164	8, 9, 10, 11, 12	dchrzrh1 24969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = 1 )
165	164	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = 1 )
166	165	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) = ( 1 / 1 ) )
167		1div1e1 10717	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1 ) = 1
168	166, 167	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) = 1 )
169	163, 168	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) )
170	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> T e. CC )
171	40, 170, 41	fsummulc1 14517	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) )
172	169, 171	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
173	86, 88, 172	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
174	173	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) = ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
175	82, 84	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) e. CC )
176	41, 175	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. CC )
177	40, 176	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. CC )
178	177	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
179	176	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
180	40, 179	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
181	39	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> C e. RR )
182	40, 176	fsumabs 14533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
183		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
184	65, 183	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
185	184, 181	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) e. RR )
186	185, 64	rerpdivcld 11903	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) e. RR )
187	181, 64	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C / x ) e. RR )
188	187	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) e. RR )
189	41	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) e. RR )
190	68	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) e. RR )
191	175	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. RR )
192	77	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR )
193	188, 192	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C / x ) x. d ) e. RR )
194	41	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) )
195	175	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
196	95	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) e. RR )
197	24	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
198	197	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. RR )
199	95	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) )
200	197	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) )
201		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
202	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
203		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. NN )
204	203	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN0 )
205	9, 201, 11	znzrhfo 19896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
206		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
207	204, 205, 206	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
208	207	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
209		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ d e. ZZ ) -> ( L ` d ) e. ( Base ` Z ) )
210	208, 14, 209	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` d ) e. ( Base ` Z ) )
211	8, 10, 9, 201, 202, 210	dchrabs2 24987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) <_ 1 )
212	109, 69, 102	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / ( abs ` d ) ) )
213	77	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 <_ d ) )
214		absid 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( d e. RR /\ 0 <_ d ) -> ( abs ` d ) = d )
215	213, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` d ) = d )
216	215	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / ( abs ` d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) )
217	212, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) )
218	109	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) e. RR )
219		mule1 24874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. NN -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) <_ 1 )
220	68, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) <_ 1 )
221	218, 75, 77, 220	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) <_ ( 1 / d ) )
222	217, 221	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) <_ ( 1 / d ) )
223	196, 75, 198, 190, 199, 200, 211, 222	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) x. ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) <_ ( 1 x. ( 1 / d ) ) )
224	95, 197	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) x. ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) )
225	190	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) e. CC )
226	225	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( 1 / d ) ) = ( 1 / d ) )
227	226	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) = ( 1 x. ( 1 / d ) ) )
228	223, 224, 227	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) <_ ( 1 / d ) )
229		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
230		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. RR -> ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) ) )
231	229, 230	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) )
232	67, 79, 231	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) )
233		dchrisumn0.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )
234	233	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )
235		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / d ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( x / d ) ) )
236	235	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / d ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) )
237	236	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( x / d ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) )
238	237	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / d ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
239		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / d ) -> ( C / y ) = ( C / ( x / d ) ) )
240	238, 239	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) ) )
241	240	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) ) )
242	232, 234, 241	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) )
243	181	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> C e. CC )
244	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. CC )
245		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
246	245	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
247	246	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
248		divdiv2 10737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( d e. CC /\ d =/= 0 ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C x. d ) / x ) )
249	244, 247, 69, 102, 248	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C x. d ) / x ) )
250		div23 10704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ d e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( C x. d ) / x ) = ( ( C / x ) x. d ) )
251	244, 69, 247, 250	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C x. d ) / x ) = ( ( C / x ) x. d ) )
252	249, 251	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C / x ) x. d ) )
253	242, 252	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( ( C / x ) x. d ) )
254	189, 190, 191, 193, 194, 195, 228, 253	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) x. ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
255	41, 175	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) = ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) x. ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
256	187	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C / x ) e. CC )
257	256	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) e. CC )
258	257, 69, 102	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( C / x ) x. d ) / d ) = ( C / x ) )
259	257, 69	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C / x ) x. d ) e. CC )
260	259, 69, 102	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( C / x ) x. d ) / d ) = ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
261	258, 260	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) = ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
262	254, 255, 261	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( C / x ) )
263	40, 179, 188, 262	fsumle 14531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) )
264	158	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
265		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
266	264, 265	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
267	266	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
268		fsumconst 14522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( C / x ) e. CC ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) )
269	40, 256, 268	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) )
270	158	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. CC )
271		divass 10703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. CC /\ C e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
272	270, 243, 246, 271	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
273	267, 269, 272	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) )
274	263, 273	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) )
275	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
276		flle 12600	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
277	65, 276	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
278		lemul1a 10877	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ x e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ ( |_ ` x ) <_ x ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) )
279	184, 65, 275, 277, 278	syl31anc 1329	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) )
280	185, 181, 64	ledivmuld 11925	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) <_ C <-> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) ) )
281	279, 280	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) <_ C )
282	180, 186, 181, 274, 281	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ C )
283	178, 180, 181, 182, 282	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ C )
284	174, 283	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) <_ C )
285	32, 34, 35, 39, 284	elo1d 14267	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) e. O(1) )
286	6, 31, 285	o1dif 14360	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O(1) ) )
287	5, 286	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   #chash 13117   abscabs 13974   ~~> cli 14215   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   mmucmu 24821  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-mu 24827  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  25191  dchrmusumlem  25211