Theorem mulog2sumlem2 25224

Description: Lemma for mulog2sum 25226. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
logdivsum.1	|- F = ( y e. RR+ |-> ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` i ) / i ) - ( ( ( log ` y ) ^ 2 ) / 2 ) ) )
mulog2sumlem.1	|- ( ph -> F ~~> r L )
mulog2sumlem2.t	|- T = ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) )
mulog2sumlem2.r	|- R = ( ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) + sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )

Assertion

Ref	Expression
mulog2sumlem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, m, n, x, y   x, F   n, L, x   ph, m, n, x   R, n, x

Allowed substitution hints:   ph( y, i)   R( y, i, m)   T( x, y, i, m, n)   F( y, i, m, n)   L( y, i, m)

Proof of Theorem mulog2sumlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		2re 11090	. . . 4 |- 2 e. RR
3		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
4		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
5		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
6	5	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. RR+ )
7		rpdivcl 11856	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( x / n ) e. RR+ )
8	4, 6, 7	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
9	8	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
10		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
11	9, 10	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) e. RR )
12	3, 11	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) e. RR )
13		remulcl 10021	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) e. RR )
14	2, 12, 13	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) e. RR )
15		mulog2sumlem2.r	. . . . . 6 |- R = ( ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) + sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
16		halfre 11246	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. RR
17		emre 24732	. . . . . . . . 9 |- gamma e. RR
18		mulog2sumlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F ~~> r L )
19		rlimcl 14234	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> r L -> L e. CC )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. CC )
21	20	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` L ) e. RR )
22		readdcl 10019	. . . . . . . . 9 |- ( ( gamma e. RR /\ ( abs ` L ) e. RR ) -> ( gamma + ( abs ` L ) ) e. RR )
23	17, 21, 22	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( gamma + ( abs ` L ) ) e. RR )
24		readdcl 10019	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( gamma + ( abs ` L ) ) e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) e. RR )
25	16, 23, 24	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) e. RR )
26		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... 2 ) e. Fin )
27		epr 14936	. . . . . . . . . . 11 |- _e e. RR+
28		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 1 ... 2 ) -> m e. NN )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> m e. NN )
30	29	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> m e. RR+ )
31		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _e e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( _e / m ) e. RR+ )
32	27, 30, 31	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( _e / m ) e. RR+ )
33	32	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` ( _e / m ) ) e. RR )
34	33, 29	nndivred 11069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) e. RR )
35	26, 34	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) e. RR )
36	25, 35	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) + sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) ) e. RR )
37	15, 36	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR )
38		remulcl 10021	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( R x. 2 ) e. RR )
39	37, 2, 38	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. 2 ) e. RR )
40	39	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R x. 2 ) e. RR )
41	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. RR )
42		rpssre 11843	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
43		2cnd 11093	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. CC )
44		o1const 14350	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
45	42, 43, 44	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
46		logfacrlim2 24951	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) ~~> r 1
47		rlimo1 14347	. . . . 5 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) ~~> r 1 -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) e. O(1) )
48	46, 47	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) e. O(1) )
49	41, 12, 45, 48	o1mul2 14355	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) ) e. O(1) )
50	39	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. 2 ) e. CC )
51		o1const 14350	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( R x. 2 ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( R x. 2 ) ) e. O(1) )
52	42, 50, 51	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( R x. 2 ) ) e. O(1) )
53	14, 40, 49, 52	o1add2 14354	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) ) e. O(1) )
54	14, 40	readdcld 10069	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) e. RR )
55	5	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
56		mucl 24867	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( mmu ` n ) e. ZZ )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. ZZ )
58	57	zred 11482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. RR )
59	58, 55	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) / n ) e. RR )
60	59	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) / n ) e. CC )
61		mulog2sumlem2.t	. . . . . 6 |- T = ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) )
62	9	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. CC )
63	62	sqcld 13006	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. CC )
64	63	halfcld 11277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
65		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( gamma e. RR /\ ( log ` ( x / n ) ) e. RR ) -> ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
66	17, 9, 65	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
67	66	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
68	20	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> L e. CC )
69	67, 68	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) e. CC )
70	64, 69	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) e. CC )
71	61, 70	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
72	60, 71	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) e. CC )
73	3, 72	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) e. CC )
74		relogcl 24322	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
75	74	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
76	75	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. CC )
77	73, 76	subcld 10392	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) e. CC )
78	77	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) ) e. RR )
79	78	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) ) e. RR )
80	54	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) e. RR )
81	54	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) e. CC )
82	81	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) ) e. RR )
83	82	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) ) e. RR )
84	57	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. CC )
85		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
86		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
87		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
88		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x / n ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x / n ) / m ) e. RR+ )
89	8, 87, 88	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( x / n ) / m ) e. RR+ )
90	89	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR )
91		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
92	90, 91	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. RR )
93	92	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. CC )
94	86, 93	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. CC )
95	85, 94	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. CC )
96	71, 95	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) e. CC )
97	55	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
98	55	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
99	84, 96, 97, 98	div23d 10838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) = ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
100	60, 71, 95	subdid 10486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) = ( ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
101	99, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) = ( ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
102	101	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
103	60, 95	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) e. CC )
104	3, 72, 103	fsumsub 14520	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
105	102, 104	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
106	105	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
107	85, 60, 94	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) )
108	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( mmu ` n ) e. CC )
109	97, 98	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
111		div23 10704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( mmu ` n ) e. CC /\ ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) / n ) = ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) )
112		divass 10703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( mmu ` n ) e. CC /\ ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) / n ) = ( ( mmu ` n ) x. ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) / n ) ) )
113	111, 112	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( mmu ` n ) e. CC /\ ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = ( ( mmu ` n ) x. ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) / n ) ) )
114	108, 93, 110, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = ( ( mmu ` n ) x. ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) / n ) ) )
115	90	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) e. CC )
116	91	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
117		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. RR+ -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
119		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) e. CC /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) / n ) = ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / ( m x. n ) ) )
120	115, 118, 110, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) / n ) = ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / ( m x. n ) ) )
121		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
124	123	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> x e. CC )
126		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) -> ( ( x / n ) / m ) = ( x / ( n x. m ) ) )
127	125, 110, 118, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( x / n ) / m ) = ( x / ( n x. m ) ) )
128	127	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) = ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) )
129	91	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
130	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> n e. CC )
131	129, 130	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m x. n ) = ( n x. m ) )
132	128, 131	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / ( m x. n ) ) = ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) )
133	120, 132	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) / n ) = ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) )
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) / n ) ) = ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) ) )
135	114, 134	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) ) )
136	86, 135	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) ) )
137	136	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) ) )
138	107, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) ) )
139	138	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) ) )
140		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n x. m ) -> ( x / k ) = ( x / ( n x. m ) ) )
141	140	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n x. m ) -> ( log ` ( x / k ) ) = ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) )
142		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n x. m ) -> k = ( n x. m ) )
143	141, 142	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n x. m ) -> ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) = ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) )
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n x. m ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) ) = ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) ) )
145	4	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
146		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. NN | y || k } C_ NN
147		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> n e. { y e. NN | y || k } )
148	146, 147	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> n e. NN )
149	148, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( mmu ` n ) e. ZZ )
150	149	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( mmu ` n ) e. RR )
151		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) -> k e. NN )
153	152	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) -> k e. RR+ )
154		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR+ /\ k e. RR+ ) -> ( x / k ) e. RR+ )
155	4, 153, 154	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( x / k ) e. RR+ )
156	155	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( log ` ( x / k ) ) e. RR )
157	151	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k e. NN )
158	156, 157	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) e. RR )
159	150, 158	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) ) e. RR )
160	159	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) ) e. CC )
161	144, 145, 160	dvdsflsumcom 24914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / ( n x. m ) ) ) / ( n x. m ) ) ) )
162	139, 161	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) ) )
163	162	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) ) )
164		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> ( x / k ) = ( x / 1 ) )
165	164	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( log ` ( x / k ) ) = ( log ` ( x / 1 ) ) )
166		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> k = 1 )
167	165, 166	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) = ( ( log ` ( x / 1 ) ) / 1 ) )
168		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
169	5	ssriv 3607	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN
170	169	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN )
171	122	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
172		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
173		flge1nn 12622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
174	171, 172, 173	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
175		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
176	174, 175	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
177		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
178	176, 177	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
179	151	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. RR+ )
180	4, 179, 154	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / k ) e. RR+ )
181	180	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / k ) ) e. RR )
182	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN )
183	182	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
184	181, 183	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) e. RR )
185	184	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) e. CC )
186	185	adantlrr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) e. CC )
187	167, 168, 170, 178, 186	musumsum 24918	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` ( x / k ) ) / k ) ) = ( ( log ` ( x / 1 ) ) / 1 ) )
188	4	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
189	188	div1d 10793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x / 1 ) = x )
190	189	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` ( x / 1 ) ) = ( log ` x ) )
191	190	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` ( x / 1 ) ) / 1 ) = ( ( log ` x ) / 1 ) )
192	76	div1d 10793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) / 1 ) = ( log ` x ) )
193	191, 192	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` ( x / 1 ) ) / 1 ) = ( log ` x ) )
194	193	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` ( x / 1 ) ) / 1 ) = ( log ` x ) )
195	163, 187, 194	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = ( log ` x ) )
196	195	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) )
197	106, 196	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) )
198	197	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) ) = ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) ) )
199		ere 14819	. . . . . . . . 9 |- _e e. RR
200	199	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> _e e. RR )
201		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
202		1lt2 11194	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 2
203		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
204	203	simpli 474	. . . . . . . . . 10 |- 2 < _e
205	201, 2, 199	lttri 10163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 < 2 /\ 2 < _e ) -> 1 < _e )
206	202, 204, 205	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- 1 < _e
207	201, 199, 206	ltleii 10160	. . . . . . . 8 |- 1 <_ _e
208	200, 207	jctir 561	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( _e e. RR /\ 1 <_ _e ) )
209	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> R e. RR )
210	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
211		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR+
212		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
213	211, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
214		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( 1 / 2 ) )
215	213, 214	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / 2 ) )
216	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> gamma e. RR )
217		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
218		emgt0 24733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < gamma
219	217, 17, 218	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ gamma
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ gamma )
221	20	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` L ) )
222	216, 21, 220, 221	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( gamma + ( abs ` L ) ) )
223	210, 23, 215, 222	addge0d 10603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) )
224		log1 24332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` 1 ) = 0
225	29	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> m e. CC )
226	225	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( 1 x. m ) = m )
227	30	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> m e. RR )
228	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> 2 e. RR )
229	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> _e e. RR )
230		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 1 ... 2 ) -> m <_ 2 )
231	230	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> m <_ 2 )
232	2, 199, 204	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 <_ _e
233	232	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> 2 <_ _e )
234	227, 228, 229, 231, 233	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> m <_ _e )
235	226, 234	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( 1 x. m ) <_ _e )
236		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> 1 e. RR )
237	236, 229, 30	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( 1 x. m ) <_ _e <-> 1 <_ ( _e / m ) ) )
238	235, 237	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> 1 <_ ( _e / m ) )
239		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( _e / m ) e. RR+ ) -> ( 1 <_ ( _e / m ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( _e / m ) ) ) )
240	211, 32, 239	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( 1 <_ ( _e / m ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( _e / m ) ) ) )
241	238, 240	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( _e / m ) ) )
242	224, 241	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> 0 <_ ( log ` ( _e / m ) ) )
243	33, 30, 242	divge0d 11912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
244	26, 34, 243	fsumge0 14527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
245	25, 35, 223, 244	addge0d 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) + sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) ) )
246	245, 15	syl6breqr 4695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ R )
247	246	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ R )
248	209, 247	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
249	84, 96	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) e. CC )
250		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) e. RR )
251	2, 11, 250	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) e. RR )
252	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. RR )
253		0le2 11111	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 2
254	253	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ 2 )
255	97	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
256		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
257	122, 256	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
258	257	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
259	255, 258	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
260		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
261	55	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
262	260, 123, 261	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
263	259, 262	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
264		logleb 24349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( x / n ) e. RR+ ) -> ( 1 <_ ( x / n ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / n ) ) ) )
265	211, 8, 264	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 <_ ( x / n ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / n ) ) ) )
266	263, 265	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / n ) ) )
267	224, 266	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( log ` ( x / n ) ) )
268		rpregt0 11846	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
269	268	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
270		divge0 10892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` ( x / n ) ) ) /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) )
271	9, 267, 269, 270	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) )
272	252, 11, 254, 271	mulge0d 10604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) )
273	249	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) e. RR )
274	273	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) e. RR )
275	96	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) e. CC )
276	275	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) e. RR )
277	261	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
278	251, 277	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) x. n ) e. RR )
279	278	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) x. n ) e. RR )
280	84, 96	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) x. ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) )
281	84	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` n ) ) e. RR )
282	96	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) e. RR )
283	96	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
284		mule1 24874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( abs ` ( mmu ` n ) ) <_ 1 )
285	55, 284	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` n ) ) <_ 1 )
286	281, 260, 282, 283, 285	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) x. ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) )
287	282	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) e. CC )
288	287	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) = ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
289	286, 288	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) x. ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) <_ ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
290	280, 289	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) <_ ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
291	290	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) <_ ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
292		logdivsum.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( y e. RR+ |-> ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` i ) / i ) - ( ( ( log ` y ) ^ 2 ) / 2 ) ) )
293	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> F ~~> r L )
294	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
295		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> _e <_ ( x / n ) )
296	292, 293, 294, 295	mulog2sumlem1 25223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) - ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) )
297	71, 95	abssubd 14192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) - T ) ) )
298	297	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) - T ) ) )
299	61	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) - T ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) - ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) )
300	299	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) - T ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) - ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) ) )
301	298, 300	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) - ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) ) ) )
302		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
303	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) e. CC )
304	302, 303, 97	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) x. n ) = ( 2 x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) x. n ) ) )
305		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
306	305	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
307		divdiv2 10737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( log ` ( x / n ) ) e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) = ( ( ( log ` ( x / n ) ) x. n ) / x ) )
308	62, 306, 109, 307	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) = ( ( ( log ` ( x / n ) ) x. n ) / x ) )
309		div23 10704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( log ` ( x / n ) ) e. CC /\ n e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) x. n ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) x. n ) )
310	62, 97, 306, 309	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) x. n ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) x. n ) )
311	308, 310	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) = ( ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) x. n ) )
312	311	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) x. n ) ) )
313	304, 312	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) x. n ) = ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) )
314	313	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) x. n ) = ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) )
315	296, 301, 314	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) <_ ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) x. n ) )
316	274, 276, 279, 291, 315	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ _e <_ ( x / n ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) <_ ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) x. n ) )
317	273	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) e. RR )
318	282	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) e. RR )
319	37	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> R e. RR )
320	290	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) <_ ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
321	71	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> T e. CC )
322	321	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` T ) e. RR )
323	95	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. CC )
324	323	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) e. RR )
325	322, 324	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( abs ` T ) + ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) e. RR )
326	321, 323	abs2dif2d 14197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) <_ ( ( abs ` T ) + ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) )
327	25	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) e. RR )
328	35	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) e. RR )
329	61	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` T ) = ( abs ` ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) )
330	329, 322	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) ) e. RR )
331	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
332	331	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
333	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) e. CC )
334	333	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) e. RR )
335	332, 334	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( abs ` ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) ) + ( abs ` ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) ) e. RR )
336	331, 333	abstrid 14195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) ) + ( abs ` ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) ) )
337	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
338	23	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( gamma + ( abs ` L ) ) e. RR )
339	9	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. RR )
340	339	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
341	9	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) )
342		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
343	2, 342	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
344	343	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
345		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) )
346	339, 341, 344, 345	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) )
347	340, 346	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) ) = ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) )
348	347	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) ) = ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) )
349	8	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
350		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x / n ) e. RR /\ _e e. RR ) -> ( ( x / n ) < _e -> ( x / n ) <_ _e ) )
351	349, 199, 350	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x / n ) < _e -> ( x / n ) <_ _e ) )
352	351	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( x / n ) <_ _e )
353	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( x / n ) e. RR+ )
354		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x / n ) e. RR+ /\ _e e. RR+ ) -> ( ( x / n ) <_ _e <-> ( log ` ( x / n ) ) <_ ( log ` _e ) ) )
355	353, 27, 354	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( x / n ) <_ _e <-> ( log ` ( x / n ) ) <_ ( log ` _e ) ) )
356	352, 355	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( log ` ( x / n ) ) <_ ( log ` _e ) )
357		loge 24333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( log ` _e ) = 1
358	356, 357	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( log ` ( x / n ) ) <_ 1 )
359		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 <_ 1
360	359	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ 1 )
361	9, 260, 267, 360	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) <_ 1 <-> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) <_ ( 1 ^ 2 ) ) )
362	361	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) <_ 1 <-> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) <_ ( 1 ^ 2 ) ) )
363	358, 362	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) <_ ( 1 ^ 2 ) )
364		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
365	363, 364	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) <_ 1 )
366	339	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. RR )
367		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> 1 e. RR )
368	343	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
369		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) <_ 1 <-> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
370	366, 367, 368, 369	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) <_ 1 <-> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
371	365, 370	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) )
372	348, 371	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
373	68	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` L ) e. RR )
374	66, 373	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) + ( abs ` L ) ) e. RR )
375	374	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) + ( abs ` L ) ) e. RR )
376	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
377	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> L e. CC )
378	376, 377	abs2dif2d 14197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) <_ ( ( abs ` ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` L ) ) )
379	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> gamma e. RR )
380	219	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ gamma )
381	379, 9, 380, 267	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) )
382	66, 381	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) )
383	382	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) )
384	383	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( abs ` ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` L ) ) = ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) + ( abs ` L ) ) )
385	378, 384	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) <_ ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) + ( abs ` L ) ) )
386	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
387	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> gamma e. RR )
388	377	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` L ) e. RR )
389	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
390	387, 218	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( gamma e. RR /\ 0 < gamma ) )
391		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( log ` ( x / n ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( gamma e. RR /\ 0 < gamma ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) <_ 1 <-> ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) <_ ( gamma x. 1 ) ) )
392	389, 367, 390, 391	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) <_ 1 <-> ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) <_ ( gamma x. 1 ) ) )
393	358, 392	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) <_ ( gamma x. 1 ) )
394	17	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- gamma e. CC
395	394	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( gamma x. 1 ) = gamma
396	393, 395	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) <_ gamma )
397	386, 387, 388, 396	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) + ( abs ` L ) ) <_ ( gamma + ( abs ` L ) ) )
398	334, 375, 338, 385, 397	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) <_ ( gamma + ( abs ` L ) ) )
399	332, 334, 337, 338, 372, 398	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( abs ` ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) ) + ( abs ` ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) ) <_ ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) )
400	330, 335, 327, 336, 399	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / 2 ) + ( ( gamma x. ( log ` ( x / n ) ) ) - L ) ) ) <_ ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) )
401	329, 400	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` T ) <_ ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) )
402	86, 92	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. RR )
403	85, 402	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. RR )
404	403	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. RR )
405	86, 90	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR )
406	86, 129	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. CC )
407	406	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 x. m ) = m )
408		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x / n ) e. RR -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) <-> ( m e. NN /\ m <_ ( x / n ) ) ) )
409	349, 408	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) <-> ( m e. NN /\ m <_ ( x / n ) ) ) )
410	409	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m <_ ( x / n ) )
411	407, 410	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 x. m ) <_ ( x / n ) )
412		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> 1 e. RR )
413	349	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
414	116	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
415	86, 414	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
416		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. RR /\ ( x / n ) e. RR /\ ( m e. RR /\ 0 < m ) ) -> ( ( 1 x. m ) <_ ( x / n ) <-> 1 <_ ( ( x / n ) / m ) ) )
417	412, 413, 415, 416	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( 1 x. m ) <_ ( x / n ) <-> 1 <_ ( ( x / n ) / m ) ) )
418	411, 417	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> 1 <_ ( ( x / n ) / m ) )
419	86, 89	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( x / n ) / m ) e. RR+ )
420		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( ( x / n ) / m ) e. RR+ ) -> ( 1 <_ ( ( x / n ) / m ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) ) )
421	211, 419, 420	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 <_ ( ( x / n ) / m ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) ) )
422	418, 421	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) )
423	224, 422	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> 0 <_ ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) )
424		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) ) /\ ( m e. RR /\ 0 < m ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) )
425	405, 423, 415, 424	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) )
426	85, 402, 425	fsumge0 14527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) )
427	426	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> 0 <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) )
428	404, 427	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) )
429		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
430	349	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( x / n ) ) e. ZZ )
431	430	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( |_ ` ( x / n ) ) e. ZZ )
432		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ZZ
433	432	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> 2 e. ZZ )
434	349	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( x / n ) e. RR )
435	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> _e e. RR )
436		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 3 e. RR
437	436	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> 3 e. RR )
438		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( x / n ) < _e )
439	203	simpri 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- _e < 3
440	439	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> _e < 3 )
441	434, 435, 437, 438, 440	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( x / n ) < 3 )
442		3z 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 3 e. ZZ
443		fllt 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x / n ) e. RR /\ 3 e. ZZ ) -> ( ( x / n ) < 3 <-> ( |_ ` ( x / n ) ) < 3 ) )
444	434, 442, 443	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( x / n ) < 3 <-> ( |_ ` ( x / n ) ) < 3 ) )
445	441, 444	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( |_ ` ( x / n ) ) < 3 )
446		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 = ( 2 + 1 )
447	445, 446	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( |_ ` ( x / n ) ) < ( 2 + 1 ) )
448		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( |_ ` ( x / n ) ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( x / n ) ) <_ 2 <-> ( |_ ` ( x / n ) ) < ( 2 + 1 ) ) )
449	431, 432, 448	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( |_ ` ( x / n ) ) <_ 2 <-> ( |_ ` ( x / n ) ) < ( 2 + 1 ) ) )
450	447, 449	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( |_ ` ( x / n ) ) <_ 2 )
451		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( x / n ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( x / n ) ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( |_ ` ( x / n ) ) <_ 2 ) )
452	431, 433, 450, 451	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> 2 e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( x / n ) ) ) )
453		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) C_ ( 1 ... 2 ) )
454	452, 453	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) C_ ( 1 ... 2 ) )
455	454	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. ( 1 ... 2 ) )
456		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ph )
457	456, 34	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) e. RR )
458	455, 457	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) e. RR )
459	429, 458	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) e. RR )
460	92	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. NN ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. RR )
461	86, 460	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) e. RR )
462	352	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( x / n ) <_ _e )
463	434	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( x / n ) e. RR )
464	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> _e e. RR )
465	30	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
466	456, 465	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
467		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x / n ) e. RR /\ _e e. RR /\ ( m e. RR /\ 0 < m ) ) -> ( ( x / n ) <_ _e <-> ( ( x / n ) / m ) <_ ( _e / m ) ) )
468	463, 464, 466, 467	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( x / n ) <_ _e <-> ( ( x / n ) / m ) <_ ( _e / m ) ) )
469	462, 468	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( x / n ) / m ) <_ ( _e / m ) )
470	89	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. NN ) -> ( ( x / n ) / m ) e. RR+ )
471	28, 470	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( x / n ) / m ) e. RR+ )
472	456, 32	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( _e / m ) e. RR+ )
473	471, 472	logled 24373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( ( x / n ) / m ) <_ ( _e / m ) <-> ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) <_ ( log ` ( _e / m ) ) ) )
474	469, 473	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) <_ ( log ` ( _e / m ) ) )
475	90	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. NN ) -> ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR )
476	28, 475	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR )
477	456, 33	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` ( _e / m ) ) e. RR )
478		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR /\ ( log ` ( _e / m ) ) e. RR /\ ( m e. RR /\ 0 < m ) ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) <_ ( log ` ( _e / m ) ) <-> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) <_ ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) ) )
479	476, 477, 466, 478	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) <_ ( log ` ( _e / m ) ) <-> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) <_ ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) ) )
480	474, 479	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) <_ ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
481	455, 480	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) <_ ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
482	429, 461, 458, 481	fsumle 14531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
483		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( 1 ... 2 ) e. Fin )
484	456, 243	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) /\ m e. ( 1 ... 2 ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
485	483, 457, 484, 454	fsumless 14528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) <_ sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
486	404, 459, 328, 482, 485	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) <_ sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
487	428, 486	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) )
488	322, 324, 327, 328, 401, 487	le2addd 10646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( abs ` T ) + ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) <_ ( ( ( 1 / 2 ) + ( gamma + ( abs ` L ) ) ) + sum_ m e. ( 1 ... 2 ) ( ( log ` ( _e / m ) ) / m ) ) )
489	488, 15	syl6breqr 4695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( ( abs ` T ) + ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) <_ R )
490	318, 325, 319, 326, 489	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) <_ R )
491	317, 318, 319, 320, 490	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / n ) < _e ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) ) <_ R )
492	4, 208, 248, 249, 251, 272, 316, 491	fsumharmonic 24738	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` _e ) + 1 ) ) ) )
493		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
494	3, 493, 303	fsummulc2 14516	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) )
495		df-2 11079	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
496	357	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( log ` _e ) + 1 ) = ( 1 + 1 )
497	495, 496	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( ( log ` _e ) + 1 )
498	497	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 = ( ( log ` _e ) + 1 ) )
499	498	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R x. 2 ) = ( R x. ( ( log ` _e ) + 1 ) ) )
500	494, 499	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` _e ) + 1 ) ) ) )
501	492, 500	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) ) <_ ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) )
502	501	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( T - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` ( ( x / n ) / m ) ) / m ) ) ) / n ) ) <_ ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) )
503	198, 502	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) ) <_ ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) )
504	54	leabsd 14153	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) <_ ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) ) )
505	504	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) <_ ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) ) )
506	79, 80, 83, 503, 505	letrd 10194	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) / x ) ) + ( R x. 2 ) ) ) )
507	1, 53, 54, 77, 506	o1le 14383	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. T ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   _eceu 14793   || cdvds 14983   logclog 24301   gammacem 24718   mmucmu 24821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  25225