Theorem omeiunlempt 40734

Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunlempt.nph	|- F/ n ph
omeiunlempt.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
omeiunlempt.x	|- X = U. dom O
omeiunlempt.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
omeiunlempt.e	|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> E C_ X )

Assertion

Ref	Expression
omeiunlempt	|- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z E ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` E ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, O   n, X   n, Z

Allowed substitution hints:   ph( n)   E( n)   N( n)

Proof of Theorem omeiunlempt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeiunlempt.nph	. . 3 |- F/ n ph
2		nfmpt1 4747	. . 3 |- F/_ n ( n e. Z |-> E )
3		omeiunlempt.o	. . 3 |- ( ph -> O e. OutMeas )
4		omeiunlempt.x	. . 3 |- X = U. dom O
5		omeiunlempt.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` N )
6		omeiunlempt.e	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> E C_ X )
7	3, 4	unidmex 39217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. _V )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> X e. _V )
9		ssexg 4804	. . . . . . 7 |- ( ( E C_ X /\ X e. _V ) -> E e. _V )
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> E e. _V )
11		elpwg 4166	. . . . . 6 |- ( E e. _V -> ( E e. ~P X <-> E C_ X ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E e. ~P X <-> E C_ X ) )
13	6, 12	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> E e. ~P X )
14		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. Z |-> E ) = ( n e. Z |-> E )
15	1, 13, 14	fmptdf 6387	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z |-> E ) : Z --> ~P X )
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	omeiunle 40731	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) ) ) ) )
17		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
18	14	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( n e. Z /\ E e. _V ) -> ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) = E )
19	17, 10, 18	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) = E )
20	19	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> E = ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) )
21	1, 20	iuneq2df 39212	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. Z E = U_ n e. Z ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) )
22	21	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z E ) = ( O ` U_ n e. Z ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) ) )
23	20	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( O ` E ) = ( O ` ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) ) )
24	1, 23	mpteq2da 4743	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( O ` E ) ) = ( n e. Z |-> ( O ` ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) ) ) )
25	24	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` E ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4666	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` U_ n e. Z E ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` E ) ) ) <-> ( O ` U_ n e. Z ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( ( n e. Z |-> E ) ` n ) ) ) ) ) )
27	16, 26	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z E ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` E ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888   <_ cle 10075   ZZ>=cuz 11687  Σ^{^}csumge0 40579  OutMeascome 40703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-ome 40704

This theorem is referenced by: (None)