Theorem hspmbllem3 40842

Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. This proof handles the non-trivial cases (nonzero dimension and finite outer measure) (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hspmbllem3.h	|- H = ( x e. Fin |-> ( l e. x , y e. RR |-> X_ k e. x if ( k = l , ( -oo (,) y ) , RR ) ) )
hspmbllem3.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hspmbllem3.i	|- ( ph -> K e. X )
hspmbllem3.y	|- ( ph -> Y e. RR )
hspmbllem3.a	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` A ) e. RR )
hspmbllem3.s	|- ( ph -> A C_ ( RR ^m X ) )
hspmbllem3.c	|- C = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
hspmbllem3.l	|- L = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
hspmbllem3.d	|- D = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( r e. RR+ |-> { i e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) } ) )
hspmbllem3.10	|- B = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` k ) ) ) )
hspmbllem3.11	|- T = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hspmbllem3	|- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) +e ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( (voln* ` X ) ` A ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, h, i, j, k, l, x, y   A, r, a, h, i, j   B, a, h, k, l   C, a, h, i, r   D, a, h, j, k, l, x, y   D, r   i, H, j, k   K, a, h, i, j, k, l, x, y   L, a, h, i, r   T, a, h, j, k, l   X, a, h, i, j, k, l, x, y   X, r   Y, a, h, i, j, k, l, x, y   ph, a, h, i, j, k, l, x, y   ph, r

Allowed substitution hints:   B( x, y, i, j, r)   C( x, y, j, k, l)   D( i)   T( x, y, i, r)   H( x, y, h, r, a, l)   K( r)   L( x, y, j, k, l)   Y( r)

Proof of Theorem hspmbllem3

Dummy variables b c e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hspmbllem3.a	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` A ) e. RR )
2		hspmbllem3.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
3		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ A
4		hspmbllem3.s	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( RR ^m X ) )
5	3, 4	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ ( RR ^m X ) )
6	2, 5	ovncl 40781	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
7	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ A )
8	2, 7, 4	ovnssle 40775	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) <_ ( (voln* ` X ) ` A ) )
9	1, 6, 8	ge0lere 39759	. . 3 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR )
10	4	ssdifssd 3748	. . . . 5 |- ( ph -> ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ ( RR ^m X ) )
11	2, 10	ovncl 40781	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
12		difssd 3738	. . . . 5 |- ( ph -> ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ A )
13	2, 12, 4	ovnssle 40775	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) <_ ( (voln* ` X ) ` A ) )
14	1, 11, 13	ge0lere 39759	. . 3 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR )
15		rexadd 12063	. . 3 |- ( ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR /\ ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR ) -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) +e ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) = ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) )
16	9, 14, 15	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) +e ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) = ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) )
17	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> X e. Fin )
18		hspmbllem3.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. X )
19		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( K e. X -> X =/= (/) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> X =/= (/) )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> X =/= (/) )
22	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A C_ ( RR ^m X ) )
23		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
24		hspmbllem3.c	. . . . . 6 |- C = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
25		hspmbllem3.l	. . . . . 6 |- L = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
26		hspmbllem3.d	. . . . . 6 |- D = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( r e. RR+ |-> { i e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) } ) )
27	17, 21, 22, 23, 24, 25, 26	ovncvrrp 40778	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. i i e. ( ( D ` A ) ` e ) )
28		hspmbllem3.h	. . . . . . . 8 |- H = ( x e. Fin |-> ( l e. x , y e. RR |-> X_ k e. x if ( k = l , ( -oo (,) y ) , RR ) ) )
29	17	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> X e. Fin )
30	18	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> K e. X )
31		hspmbllem3.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR )
32	31	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> Y e. RR )
33	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> e e. RR+ )
34	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> A C_ ( RR ^m X ) )
35		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = h -> ( i ` j ) = ( h ` j ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = h -> ( L ` ( i ` j ) ) = ( L ` ( h ` j ) ) )
37	36	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = h -> ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( L ` ( h ` j ) ) ) )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = h -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( h ` j ) ) ) ) )
39	38	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = h -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( h ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) ) )
40	39	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { i e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) } = { h e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( h ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) }
41	40	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. RR+ |-> { i e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) } ) = ( r e. RR+ |-> { h e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( h ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) } )
42	41	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( r e. RR+ |-> { i e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) } ) ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( r e. RR+ |-> { h e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( h ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) } ) )
43	26, 42	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( r e. RR+ |-> { h e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( h ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e r ) } ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> i e. ( ( D ` A ) ` e ) )
45		hspmbllem3.10	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` k ) ) ) )
46		hspmbllem3.11	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` k ) ) ) )
47	29, 34, 33, 24, 25, 43, 44, 45, 46	ovncvr2 40825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> ( ( ( B : NN --> ( RR ^m X ) /\ T : NN --> ( RR ^m X ) ) /\ A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( B ` j ) ` k ) [,) ( ( T ` j ) ` k ) ) ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( B ` j ) ` k ) [,) ( ( T ` j ) ` k ) ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) +e e ) ) )
48	47	simplld 791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> ( B : NN --> ( RR ^m X ) /\ T : NN --> ( RR ^m X ) ) )
49	48	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> B : NN --> ( RR ^m X ) )
50	48	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> T : NN --> ( RR ^m X ) )
51	47	simplrd 793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( B ` j ) ` k ) [,) ( ( T ` j ) ` k ) ) )
52	47	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( B ` j ) ` k ) [,) ( ( T ` j ) ` k ) ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) +e e ) )
53	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( (voln* ` X ) ` A ) e. RR )
54	23	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR )
55	53, 54	rexaddd 12065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( (voln* ` X ) ` A ) +e e ) = ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> ( ( (voln* ` X ) ` A ) +e e ) = ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) )
57	52, 56	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( B ` j ) ` k ) [,) ( ( T ` j ) ` k ) ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) )
58	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> ( (voln* ` X ) ` A ) e. RR )
59	9	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR )
60	14	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR )
61		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
62		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) = ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) )
63		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h = K , if ( x <_ ( c ` h ) , ( c ` h ) , x ) , ( c ` h ) ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h = K , if ( x <_ ( c ` h ) , ( c ` h ) , x ) , ( c ` h ) ) ) ) )
64	28, 29, 30, 32, 33, 49, 50, 51, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63	hspmbllem2 40841	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ i e. ( ( D ` A ) ` e ) ) -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) )
65	64	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( i e. ( ( D ` A ) ` e ) -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) ) )
66	65	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. i i e. ( ( D ` A ) ` e ) -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) ) )
67	27, 66	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) )
68	67	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) )
69	9, 14	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) e. RR )
70		alrple 12037	. . . 4 |- ( ( ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) e. RR /\ ( (voln* ` X ) ` A ) e. RR ) -> ( ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( (voln* ` X ) ` A ) <-> A. e e. RR+ ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) ) )
71	69, 1, 70	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( (voln* ` X ) ` A ) <-> A. e e. RR+ ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + e ) ) )
72	68, 71	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( (voln* ` X ) ` A ) )
73	16, 72	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) +e ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( (voln* ` X ) ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   -oocmnf 10072   <_ cle 10075   NNcn 11020   RR+crp 11832   +ecxad 11944   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579  voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ovoln 40751

This theorem is referenced by:  hspmbl  40843