Theorem ovolicc2lem5 23289

Description: Lemma for ovolicc2 23290. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolicc.1	|- ( ph -> A e. RR )
ovolicc.2	|- ( ph -> B e. RR )
ovolicc.3	|- ( ph -> A <_ B )
ovolicc2.4	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovolicc2.5	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ovolicc2.6	|- ( ph -> U e. ( ~P ran ( (,) o. F ) i^i Fin ) )
ovolicc2.7	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ U. U )
ovolicc2.8	|- ( ph -> G : U --> NN )
ovolicc2.9	|- ( ( ph /\ t e. U ) -> ( ( (,) o. F ) ` ( G ` t ) ) = t )
ovolicc2.10	|- T = { u e. U | ( u i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) }

Assertion

Ref	Expression
ovolicc2lem5	|- ( ph -> ( B - A ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   u, t, A   t, B, u   t, F   t, G   ph, t   t, T   t, U, u

Allowed substitution hints:   ph( u)   S( u, t)   T( u)   F( u)   G( u)

Proof of Theorem ovolicc2lem5

Dummy variables h m n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolicc2.7	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ U. U )
2		ovolicc.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR* )
4		ovolicc.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
5	4	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR* )
6		ovolicc.3	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
7		lbicc2 12288	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
9	1, 8	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> A e. U. U )
10		eluni2 4440	. . 3 |- ( A e. U. U <-> E. z e. U A e. z )
11	9, 10	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. z e. U A e. z )
12		ovolicc2.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. ( ~P ran ( (,) o. F ) i^i Fin ) )
13		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( U e. ( ~P ran ( (,) o. F ) i^i Fin ) <-> ( U e. ~P ran ( (,) o. F ) /\ U e. Fin ) )
14	12, 13	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U e. ~P ran ( (,) o. F ) /\ U e. Fin ) )
15	14	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. Fin )
16		ovolicc2.10	. . . . . . 7 |- T = { u e. U | ( u i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) }
17		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { u e. U | ( u i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) } C_ U
18	16, 17	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- T C_ U
19		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( U e. Fin /\ T C_ U ) -> T e. Fin )
20	15, 18, 19	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> T e. Fin )
21	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( A [,] B ) C_ U. U )
22		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
23		ovolicc2.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : U --> NN )
24		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = t -> ( u i^i ( A [,] B ) ) = ( t i^i ( A [,] B ) ) )
25	24	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = t -> ( ( u i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) <-> ( t i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) ) )
26	25, 16	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. T <-> ( t e. U /\ ( t i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) ) )
27	26	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. T -> t e. U )
28		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G : U --> NN /\ t e. U ) -> ( G ` t ) e. NN )
29	23, 27, 28	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) e. NN )
30		ovolicc2.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( G ` t ) e. NN ) -> ( F ` ( G ` t ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
32	29, 31	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` ( G ` t ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
33	22, 32	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` ( G ` t ) ) e. ( RR X. RR ) )
34		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` ( G ` t ) ) e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR )
36	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> B e. RR )
37	35, 36	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. RR )
38	26	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. T -> ( t i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( t i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) )
40		n0 3931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) <-> E. y y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) )
41	39, 40	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E. y y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) )
42	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> A e. RR )
43		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) )
44		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) <-> ( y e. t /\ y e. ( A [,] B ) ) )
45	43, 44	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( y e. t /\ y e. ( A [,] B ) ) )
46	45	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
47	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> B e. RR )
48		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
49	42, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
50	46, 49	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) )
51	50	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> y e. RR )
52	33	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` t ) ) e. ( RR X. RR ) )
53	52, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR )
54	50	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> A <_ y )
55	45	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> y e. t )
56	29	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( G ` t ) e. NN )
57		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( G ` t ) e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` ( G ` t ) ) = ( (,) ` ( F ` ( G ` t ) ) ) )
58	30, 57	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( G ` t ) e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` ( G ` t ) ) = ( (,) ` ( F ` ( G ` t ) ) ) )
59	56, 58	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` ( G ` t ) ) = ( (,) ` ( F ` ( G ` t ) ) ) )
60		ovolicc2.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. U ) -> ( ( (,) o. F ) ` ( G ` t ) ) = t )
61	27, 60	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( (,) o. F ) ` ( G ` t ) ) = t )
62	61	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` ( G ` t ) ) = t )
63		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` ( G ` t ) ) e. ( RR X. RR ) -> ( F ` ( G ` t ) ) = <. ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) >. )
64	52, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` t ) ) = <. ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) >. )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( (,) ` ( F ` ( G ` t ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) >. ) )
66		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) >. )
67	65, 66	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( (,) ` ( F ` ( G ` t ) ) ) = ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) )
68	59, 62, 67	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> t = ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) )
69	55, 68	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> y e. ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) )
70		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` ( G ` t ) ) e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR )
71	52, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR )
72		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR -> ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR* )
73		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR -> ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR* )
74		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR* /\ ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR* ) -> ( y e. ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) <-> ( y e. RR /\ ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) ) )
75	72, 73, 74	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR ) -> ( y e. ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) <-> ( y e. RR /\ ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) ) )
76	71, 53, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( y e. ( ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) <-> ( y e. RR /\ ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) ) )
77	69, 76	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> ( y e. RR /\ ( 1st ` ( F ` ( G ` t ) ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) )
78	77	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> y < ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) )
79	51, 53, 78	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> y <_ ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) )
80	42, 51, 53, 54, 79	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) ) ) -> A <_ ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) )
81	80	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) -> A <_ ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) )
82	81	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( E. y y e. ( t i^i ( A [,] B ) ) -> A <_ ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) ) )
83	41, 82	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> A <_ ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) )
84	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> A <_ B )
85		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) = if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) -> ( A <_ ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <-> A <_ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) ) )
86		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) -> ( A <_ B <-> A <_ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) ) )
87	85, 86	ifboth 4124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <_ ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) /\ A <_ B ) -> A <_ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) )
88	83, 84, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> A <_ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) )
89		min2 12021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) <_ B )
90	35, 36, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) <_ B )
91		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( A [,] B ) <-> ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. RR /\ A <_ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) <_ B ) ) )
92	2, 4, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( A [,] B ) <-> ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. RR /\ A <_ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) <_ B ) ) )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( A [,] B ) <-> ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. RR /\ A <_ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) <_ B ) ) )
94	37, 88, 90, 93	mpbir3and 1245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( A [,] B ) )
95	21, 94	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. U. U )
96		eluni2 4440	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. U. U <-> E. x e. U if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x )
97	95, 96	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E. x e. U if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x )
98		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ ( x e. U /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) ) -> x e. U )
99		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ ( x e. U /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) ) -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x )
100	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ ( x e. U /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) ) -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( A [,] B ) )
101		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( A [,] B ) ) -> ( x i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) )
102	99, 100, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ ( x e. U /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) ) -> ( x i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) )
103		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = x -> ( u i^i ( A [,] B ) ) = ( x i^i ( A [,] B ) ) )
104	103	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = x -> ( ( u i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) <-> ( x i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) ) )
105	104, 16	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. T <-> ( x e. U /\ ( x i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) ) )
106	98, 102, 105	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ ( x e. U /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) ) -> x e. T )
107	106, 99	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ ( x e. U /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) ) -> ( x e. T /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) )
108	107	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( x e. U /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) -> ( x e. T /\ if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) ) )
109	108	reximdv2 3014	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( E. x e. U if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x -> E. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) )
110	97, 109	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x )
111	110	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. t e. T E. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x )
112		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( x = ( h ` t ) -> ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x <-> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) ) )
113	112	ac6sfi 8204	. . . . 5 |- ( ( T e. Fin /\ A. t e. T E. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. x ) -> E. h ( h : T --> T /\ A. t e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) ) )
114	20, 111, 113	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> E. h ( h : T --> T /\ A. t e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) ) )
115	114	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. U /\ A e. z ) ) -> E. h ( h : T --> T /\ A. t e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) ) )
116		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = t -> ( G ` x ) = ( G ` t ) )
117	116	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = t -> ( F ` ( G ` x ) ) = ( F ` ( G ` t ) ) )
118	117	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) = ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) )
119	118	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B <-> ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B ) )
120	119, 118	ifbieq1d 4109	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) = if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) )
121		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( h ` x ) = ( h ` t ) )
122	120, 121	eleq12d 2695	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) <-> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) ) )
123	122	cbvralv 3171	. . . . . 6 |- ( A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) <-> A. t e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) )
124	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> A e. RR )
125	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> B e. RR )
126	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> A <_ B )
127		ovolicc2.4	. . . . . . . . 9 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
128	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
129	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> U e. ( ~P ran ( (,) o. F ) i^i Fin ) )
130	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ U. U )
131	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> G : U --> NN )
132	60	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) /\ t e. U ) -> ( ( (,) o. F ) ` ( G ` t ) ) = t )
133		simprrl 804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> h : T --> T )
134		simprrr 805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) )
135	122	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) /\ t e. T ) -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) )
136	134, 135	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) /\ t e. T ) -> if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) )
137		simprlr 803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> A e. z )
138		simprll 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> z e. U )
139	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> A e. ( A [,] B ) )
140		inelcm 4032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. z /\ A e. ( A [,] B ) ) -> ( z i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) )
141	137, 139, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> ( z i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) )
142		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( u i^i ( A [,] B ) ) = ( z i^i ( A [,] B ) ) )
143	142	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( u i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) <-> ( z i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) ) )
144	143, 16	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. T <-> ( z e. U /\ ( z i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) ) )
145	138, 141, 144	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> z e. T )
146		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) ) = seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) )
147		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) ) ` m ) = ( seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) ) ` n ) )
148	147	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( B e. ( seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) ) ` m ) <-> B e. ( seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) ) ` n ) ) )
149	148	cbvrabv 3199	. . . . . . . . 9 |- { m e. NN | B e. ( seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) ) ` m ) } = { n e. NN | B e. ( seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) ) ` n ) }
150		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- inf ( { m e. NN | B e. ( seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) ) ` m ) } , RR , < ) = inf ( { m e. NN | B e. ( seq 1 ( ( h o. 1st ) , ( NN X. { z } ) ) ` m ) } , RR , < )
151	124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 16, 133, 136, 137, 145, 146, 149, 150	ovolicc2lem4 23288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( z e. U /\ A e. z ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
152	151	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( z e. U /\ A e. z ) ) /\ ( h : T --> T /\ A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) ) ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
153	152	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( z e. U /\ A e. z ) ) /\ h : T --> T ) -> ( A. x e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` x ) ) ) , B ) e. ( h ` x ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
154	123, 153	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z e. U /\ A e. z ) ) /\ h : T --> T ) -> ( A. t e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
155	154	expimpd 629	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. U /\ A e. z ) ) -> ( ( h : T --> T /\ A. t e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
156	155	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. U /\ A e. z ) ) -> ( E. h ( h : T --> T /\ A. t e. T if ( ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) <_ B , ( 2nd ` ( F ` ( G ` t ) ) ) , B ) e. ( h ` t ) ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
157	115, 156	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. U /\ A e. z ) ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
158	11, 157	rexlimddv 3035	1 |- ( ph -> ( B - A ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  ovolicc2  23290