ovolval4lem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem ovolval4lem1 40863

Description: |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( (,) o. G )

n ) ) (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ovolval4lem1.f
ovolval4lem1.g
ovolval4lem1.a

**Assertion**
Ref	Expression
ovolval4lem1	$/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem ovolval4lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 12271	. . . . . . . 8
2	1	a1i 11	. . . . . . 7
3		ovolval4lem1.f	. . . . . . 7
4		fco 6058	. . . . . . 7 $/\$
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . . . 6
6		ffn 6045	. . . . . 6
7	5, 6	syl 17	. . . . 5
8		fniunfv 6505	. . . . 5
9	7, 8	syl 17	. . . 4
10	9	eqcomd 2628	. . 3
11		ovolval4lem1.a	. . . . . . . . 9
12		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9
13	11, 12	eqsstri 3635	. . . . . . . 8
14		undif 4049	. . . . . . . 8 $\$
15	13, 14	mpbi 220	. . . . . . 7 $\$
16	15	eqcomi 2631	. . . . . 6 $\$
17	16	iuneq1i 39259	. . . . 5 $\$
18		iunxun 4605	. . . . 5 $\$ $\$
19	17, 18	eqtri 2644	. . . 4 $\$
20	19	a1i 11	. . 3 $\$
21	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22		xp1st 7198	. . . . . . . . . . 11
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
24		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . 12
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	25, 23	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 $/\$
27	23, 26	opelxpd 5149	. . . . . . . . 9 $/\$
28		ovolval4lem1.g	. . . . . . . . 9
29	27, 28	fmptd 6385	. . . . . . . 8
30		fco 6058	. . . . . . . 8 $/\$
31	2, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . 7
32		ffn 6045	. . . . . . 7
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6
34		fniunfv 6505	. . . . . 6
35	33, 34	syl 17	. . . . 5
36	35	eqcomd 2628	. . . 4
37	16	iuneq1i 39259	. . . . . 6 $\$
38		iunxun 4605	. . . . . 6 $\$ $\$
39	37, 38	eqtri 2644	. . . . 5 $\$
40	39	a1i 11	. . . 4 $\$
41	29	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
42	13	sseli 3599	. . . . . . . . 9
43	42	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
44		fvco3 6275	. . . . . . . 8 $/\$
45	41, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$
46	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
47		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 $/\$
48	46, 43, 47	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$
49		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 $/\$
50		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . 12
51	21, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	49, 43, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$
53	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
54	27	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
55	53, 54	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
56	49, 43, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	11	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	57	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
60	58, 59	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
61	60	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	62	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
64	63	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 $/\$
66	56, 64, 65	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	52, 66	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 $/\$
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$
69	48, 68	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
70	45, 69	eqtr4d 2659	. . . . . 6 $/\$
71	70	iuneq2dv 4542	. . . . 5
72	29	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
73		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 $\$
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
75	72, 74, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
76		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
77	76, 74, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
78	73	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $/\$
79	78, 59	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$
80	79, 57	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$
81	80	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$
82		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
83	82	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$
84	81, 83	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
85	84	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
86	85	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
87	77, 86	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
89		iooid 12203	. . . . . . . . . . . 12
90	89	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11
91		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11
92	90, 91	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . 10
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
94	75, 88, 93	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
95	94	iuneq2dv 4542	. . . . . . 7 $\$ $\$
96		iun0 4576	. . . . . . . 8 $\$
97	96	a1i 11	. . . . . . 7 $\$
98	95, 97	eqtrd 2656	. . . . . 6 $\$
99	76, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
100	99, 74, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
101	76, 74, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
103		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
105		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $\$
106	74, 23	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$
108	74, 25	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$
110		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$
111	107, 109	xrltnled 39579	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$
112	110, 111	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$
113	107, 109, 112	xrltled 39486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
114	105, 113, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
115	82	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
116	114, 115	condan 835	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
117		ioo0 12200	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
118	106, 108, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
119	116, 118	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
120	104, 119	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
121	100, 102, 120	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
122	121	iuneq2dv 4542	. . . . . . 7 $\$ $\$
123	122, 97	eqtrd 2656	. . . . . 6 $\$
124	98, 123	eqtr4d 2659	. . . . 5 $\$ $\$
125	71, 124	uneq12d 3768	. . . 4 $\$ $\$
126	36, 40, 125	3eqtrrd 2661	. . 3 $\$
127	10, 20, 126	3eqtrd 2660	. 2
128		volf 23297	. . . . . 6
129	128	a1i 11	. . . . 5
130	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132	130, 131, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$
133	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$
134	103	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	132, 133, 135	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 $/\$
137		ioombl 23333	. . . . . . . . . 10
138	137	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
139	136, 138	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 $/\$
140	139	ralrimiva 2966	. . . . . . 7
141	7, 140	jca 554	. . . . . 6 $/\$
142		ffnfv 6388	. . . . . 6 $/\$
143	141, 142	sylibr 224	. . . . 5
144		fco 6058	. . . . 5 $/\$
145	129, 143, 144	syl2anc 693	. . . 4
146		ffn 6045	. . . 4
147	145, 146	syl 17	. . 3
148	70	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
149	139	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
150	148, 149	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
151		simpll 790	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
152		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$
153	152	bicomi 214	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
154	153	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
155	154	adantll 750	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
156	119, 137	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
157	94, 156	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
158	151, 155, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
159	150, 158	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 $/\$
160	159	ralrimiva 2966	. . . . . . 7
161	33, 160	jca 554	. . . . . 6 $/\$
162		ffnfv 6388	. . . . . 6 $/\$
163	161, 162	sylibr 224	. . . . 5
164		fco 6058	. . . . 5 $/\$
165	129, 163, 164	syl2anc 693	. . . 4
166		ffn 6045	. . . 4
167	165, 166	syl 17	. . 3
168	148	eqcomd 2628	. . . . . 6 $/\$ $/\$
169	121, 94	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 $/\$ $\$
170	151, 155, 169	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$
171	168, 170	pm2.61dan 832	. . . . 5 $/\$
172	171	fveq2d 6195	. . . 4 $/\$
173		fnfun 5988	. . . . . . 7
174	7, 173	syl 17	. . . . . 6
175	174	adantr 481	. . . . 5 $/\$
176		fdm 6051	. . . . . . . . 9
177	143, 176	syl 17	. . . . . . . 8
178	177	eqcomd 2628	. . . . . . 7
179	178	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
180	131, 179	eleqtrd 2703	. . . . 5 $/\$
181		fvco 6274	. . . . 5 $/\$
182	175, 180, 181	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
183		fnfun 5988	. . . . . . 7
184	33, 183	syl 17	. . . . . 6
185	184	adantr 481	. . . . 5 $/\$
186		fdm 6051	. . . . . . . . 9
187	163, 186	syl 17	. . . . . . . 8
188	187	eqcomd 2628	. . . . . . 7
189	188	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
190	131, 189	eleqtrd 2703	. . . . 5 $/\$
191		fvco 6274	. . . . 5 $/\$
192	185, 190, 191	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
193	172, 182, 192	3eqtr4d 2666	. . 3 $/\$
194	147, 167, 193	eqfnfvd 6314	. 2
195	127, 194	jca 554	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

crab 2916

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

wss 3574

c0 3915

cif 4086

cpw 4158

cop 4183

cuni 4436

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

ccom 5118

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167

cr 9935

cc0 9936

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cn 11020

cioo 12175

cicc 12178

cvol 23232

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-xmet 19739 df-met 19740 df-ovol 23233 df-vol 23234

This theorem is referenced by: ovolval4lem2 40864

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