Theorem pcaddlem 15592

Description: Lemma for pcadd 15593. The original numbers A and B have been decomposed using the prime count function as ( P ^ M ) x. ( R / S ) where R , S are both not divisible by P and M = ( P pCnt A ), and similarly for B. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcaddlem.1	|- ( ph -> P e. Prime )
pcaddlem.2	|- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
pcaddlem.3	|- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
pcaddlem.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
pcaddlem.5	|- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
pcaddlem.6	|- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
pcaddlem.7	|- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
pcaddlem.8	|- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )

Assertion

Ref	Expression
pcaddlem	|- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Proof of Theorem pcaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . 3 |- ( ( A + B ) = 0 -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( P pCnt 0 ) )
2	1	breq2d 4665	. 2 |- ( ( A + B ) = 0 -> ( M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) <-> M <_ ( P pCnt 0 ) ) )
3		pcaddlem.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzel2 11692	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6	5	zred 11482	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M e. RR )
8		pcaddlem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. Prime )
9		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
11	10	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. CC )
12	10	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P =/= 0 )
13		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
15	14, 5	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - M ) e. ZZ )
16	11, 12, 15	expclzd 13013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. CC )
17		pcaddlem.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
18	17	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. ZZ )
19	18	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
20		pcaddlem.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. NN )
22	21	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. CC )
23	21	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U =/= 0 )
24	16, 19, 22, 23	divassd 10836	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) = ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) )
25	24	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
26		pcaddlem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
27	26	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. ZZ )
28	27	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CC )
29		pcaddlem.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
30	29	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. NN )
31	30	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. CC )
32	16, 19	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. CC )
33	30	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S =/= 0 )
34	28, 31, 32, 22, 33, 23	divadddivd 10845	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
35	25, 34	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
38	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> P e. Prime )
39	21	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. ZZ )
40	27, 39	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R x. U ) e. ZZ )
41		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - M ) e. NN0 )
43	10, 42	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. NN )
44	43	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
45	44, 18	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. ZZ )
46	30	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ZZ )
47	45, 46	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) e. ZZ )
48	40, 47	zaddcld 11486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
49	48	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
50	11, 12, 5	expclzd 13013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. CC )
51	50	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 )
52		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. 0 ) )
53	52	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 <-> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 ) )
54	51, 53	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 ) )
55	54	necon3d 2815	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
56	28, 31, 33	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R / S ) e. CC )
57	19, 22, 23	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T / U ) e. CC )
58	16, 57	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. CC )
59	50, 56, 58	adddid 10064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
60		pcaddlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
61		pcaddlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
62	5	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. CC )
63	14	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. CC )
64	62, 63	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M + ( N - M ) ) = N )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( P ^ N ) )
66		expaddz 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. CC /\ P =/= 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ ) ) -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
67	11, 12, 5, 15, 66	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
68	65, 67	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P ^ N ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) )
70	50, 16, 57	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
71	61, 69, 70	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
72	60, 71	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + B ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
73	59, 72	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( A + B ) )
74	73	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 <-> ( A + B ) =/= 0 ) )
75	35	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 <-> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
76	55, 74, 75	3imtr3d 282	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
77	30, 21	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S x. U ) e. NN )
78	77	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) e. CC )
79	77	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) =/= 0 )
80	78, 79	div0d 10800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 )
81		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = ( 0 / ( S x. U ) ) )
82	81	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 <-> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 ) )
83	80, 82	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 ) )
84	83	necon3d 2815	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
85	76, 84	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
86	85	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 )
87	77	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( S x. U ) e. NN )
88		pcdiv 15557	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) /\ ( S x. U ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
89	38, 49, 86, 87, 88	syl121anc 1331	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
90		pcmul 15556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( S e. ZZ /\ S =/= 0 ) /\ ( U e. ZZ /\ U =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
91	8, 46, 33, 39, 23, 90	syl122anc 1335	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
92	29	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || S )
93		pceq0 15575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ S e. NN ) -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
94	8, 30, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
95	92, 94	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt S ) = 0 )
96	20	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || U )
97		pceq0 15575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ U e. NN ) -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
98	8, 21, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
99	96, 98	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt U ) = 0 )
100	95, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = ( 0 + 0 ) )
101		00id 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
102	100, 101	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = 0 )
103	91, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = 0 )
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
105	104	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
106		pczcl 15553	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
107	38, 49, 86, 106	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
108	107	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. CC )
109	108	subid1d 10381	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
110	105, 109	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
111	37, 89, 110	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
112	111, 107	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 )
113		nn0addge1 11339	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
114	7, 112, 113	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
115		nnq 11801	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
116	10, 115	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. QQ )
117		qexpclz 12881	. . . . . . 7 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
118	116, 12, 5, 117	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. QQ )
119	118	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
120	11, 12, 5	expne0d 13014	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) =/= 0 )
121	120	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) =/= 0 )
122		znq 11792	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. ZZ /\ S e. NN ) -> ( R / S ) e. QQ )
123	27, 30, 122	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R / S ) e. QQ )
124		qexpclz 12881	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ ( N - M ) e. ZZ ) -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
125	116, 12, 15, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
126		znq 11792	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. ZZ /\ U e. NN ) -> ( T / U ) e. QQ )
127	18, 21, 126	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T / U ) e. QQ )
128		qmulcl 11806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ /\ ( T / U ) e. QQ ) -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
129	125, 127, 128	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
130		qaddcl 11804	. . . . . . 7 |- ( ( ( R / S ) e. QQ /\ ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
131	123, 129, 130	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
132	131	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
133	74, 55	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
134	133	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 )
135		pcqmul 15558	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( P ^ M ) e. QQ /\ ( P ^ M ) =/= 0 ) /\ ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ /\ ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
136	38, 119, 121, 132, 134, 135	syl122anc 1335	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
137	73	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
138	137	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
139		pcid 15577	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ ) -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
140	8, 5, 139	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
141	140	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
142	141	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
143	136, 138, 142	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
144	114, 143	breqtrrd 4681	. 2 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
145	6	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR* )
146		pnfge 11964	. . . 4 |- ( M e. RR* -> M <_ +oo )
147	145, 146	syl 17	. . 3 |- ( ph -> M <_ +oo )
148		pc0 15559	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
149	8, 148	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
150	147, 149	breqtrrd 4681	. 2 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt 0 ) )
151	2, 144, 150	pm2.61ne 2879	1 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542

This theorem is referenced by:  pcadd  15593