Theorem crth 15483

Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps x to its remainder classes mod M and mod N is 1-1 and onto when M and N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	|- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
crth.2	|- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
crth.3	|- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
crth.4	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
crth	|- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Distinct variable groups:   x, M   ph, x   x, S   x, T   x, N

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem crth

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 12470	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> x e. ZZ )
2		crth.1	. . . . . 6 |- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
3	1, 2	eleq2s 2719	. . . . 5 |- ( x e. S -> x e. ZZ )
4		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
5		crth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
6	5	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> M e. NN )
8		zmodfzo 12693	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
10	5	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> N e. NN )
12		zmodfzo 12693	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
13	4, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
14		opelxpi 5148	. . . . . . 7 |- ( ( ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
16		crth.2	. . . . . 6 |- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
17	15, 16	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
18	3, 17	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
19		crth.3	. . . 4 |- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
20	18, 19	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> F : S --> T )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod M ) = ( y mod M ) )
22		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod N ) = ( y mod N ) )
23	21, 22	opeq12d 4410	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
24		opex 4932	. . . . . . . . 9 |- <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V
25	23, 19, 24	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( y e. S -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
27		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod M ) = ( z mod M ) )
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod N ) = ( z mod N ) )
29	27, 28	opeq12d 4410	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
30		opex 4932	. . . . . . . . 9 |- <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V
31	29, 19, 30	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
32	31	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
33	26, 32	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. ) )
34		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( y mod M ) e. _V
35		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( y mod N ) e. _V
36	34, 35	opth 4945	. . . . . 6 |- ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) )
37	33, 36	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
38	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. NN )
39	38	nnzd 11481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. ZZ )
40	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. NN )
41	40	nnzd 11481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. ZZ )
42		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. S )
43	42, 2	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
44		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y e. ZZ )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
46		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
47	46, 2	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
48		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z e. ZZ )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
50	45, 49	zsubcld 11487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y - z ) e. ZZ )
51	5	simp3d 1075	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M gcd N ) = 1 )
53		coprmdvds2 15368	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( y - z ) e. ZZ ) /\ ( M gcd N ) = 1 ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
54	39, 41, 50, 52, 53	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
55		moddvds 14991	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
56	38, 45, 49, 55	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
57		moddvds 14991	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
58	40, 45, 49, 57	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
59	56, 58	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) <-> ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) ) )
60	45	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. RR )
61	38, 40	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. NN )
62	61	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. RR+ )
63		elfzole1 12478	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ y )
64	43, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ y )
65		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y < ( M x. N ) )
66	43, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y < ( M x. N ) )
67		modid 12695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. RR /\ ( M x. N ) e. RR+ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < ( M x. N ) ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
68	60, 62, 64, 66, 67	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
69	49	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. RR )
70		elfzole1 12478	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ z )
71	47, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ z )
72		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z < ( M x. N ) )
73	47, 72	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z < ( M x. N ) )
74		modid 12695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. RR /\ ( M x. N ) e. RR+ ) /\ ( 0 <_ z /\ z < ( M x. N ) ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
75	69, 62, 71, 73, 74	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
76	68, 75	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> y = z ) )
77		moddvds 14991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M x. N ) e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
78	61, 45, 49, 77	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
79	76, 78	bitr3d 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y = z <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
80	54, 59, 79	3imtr4d 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) -> y = z ) )
81	37, 80	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
82	81	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
83		dff13 6512	. . 3 |- ( F : S -1-1-> T <-> ( F : S --> T /\ A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
84	20, 82, 83	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> F : S -1-1-> T )
85		nnnn0 11299	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
86		nnnn0 11299	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
87		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. NN0 )
88		hashfzo0 13217	. . . . . . . . 9 |- ( ( M x. N ) e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( # ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
90		fzofi 12773	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ M ) e. Fin
91		fzofi 12773	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ N ) e. Fin
92		hashxp 13221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( # ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` ( 0..^ N ) ) ) )
93	90, 91, 92	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( # ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` ( 0..^ N ) ) )
94		hashfzo0 13217	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ M ) ) = M )
95		hashfzo0 13217	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ N ) ) = N )
96	94, 95	oveqan12d 6669	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` ( 0..^ N ) ) ) = ( M x. N ) )
97	93, 96	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( # ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( M x. N ) )
98	89, 97	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( # ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( # ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
99		fzofi 12773	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin
100		xpfi 8231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
101	90, 91, 100	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin
102		hashen 13135	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin /\ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( # ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
103	99, 101, 102	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( # ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( # ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
104	98, 103	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
105	85, 86, 104	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
106	6, 10, 105	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
107	106, 2, 16	3brtr4g 4687	. . 3 |- ( ph -> S ~~ T )
108	16, 101	eqeltri 2697	. . 3 |- T e. Fin
109		f1finf1o 8187	. . 3 |- ( ( S ~~ T /\ T e. Fin ) -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
110	107, 108, 109	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
111	84, 110	mpbid 222	1 |- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   #chash 13117   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  phimullem  15484