Theorem ppiublem1 24927

Description: Lemma for ppiub 24929. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ppiublem1.1	|- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
ppiublem1.2	|- M e. NN0
ppiublem1.3	|- N = ( M + 1 )
ppiublem1.4	|- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )

Assertion

Ref	Expression
ppiublem1	|- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

Proof of Theorem ppiublem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppiublem1.1	. . . . . 6 |- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
2	1	simpli 474	. . . . 5 |- N <_ 6
3		ppiublem1.3	. . . . 5 |- N = ( M + 1 )
4		df-6 11083	. . . . 5 |- 6 = ( 5 + 1 )
5	2, 3, 4	3brtr3i 4682	. . . 4 |- ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 )
6		ppiublem1.2	. . . . . 6 |- M e. NN0
7	6	nn0rei 11303	. . . . 5 |- M e. RR
8		5re 11099	. . . . 5 |- 5 e. RR
9		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
10	7, 8, 9	leadd1i 10583	. . . 4 |- ( M <_ 5 <-> ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 ) )
11	5, 10	mpbir 221	. . 3 |- M <_ 5
12		6re 11101	. . . 4 |- 6 e. RR
13		5lt6 11204	. . . 4 |- 5 < 6
14	8, 12, 13	ltleii 10160	. . 3 |- 5 <_ 6
15	7, 8, 12	letri 10166	. . 3 |- ( ( M <_ 5 /\ 5 <_ 6 ) -> M <_ 6 )
16	11, 14, 15	mp2an 708	. 2 |- M <_ 6
17	6	nn0zi 11402	. . . . 5 |- M e. ZZ
18		5nn 11188	. . . . . 6 |- 5 e. NN
19	18	nnzi 11401	. . . . 5 |- 5 e. ZZ
20		eluz2 11693	. . . . 5 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ 5 e. ZZ /\ M <_ 5 ) )
21	17, 19, 11, 20	mpbir3an 1244	. . . 4 |- 5 e. ( ZZ>= ` M )
22		elfzp12 12419	. . . 4 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) )
24		ppiublem1.4	. . . . 5 |- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )
25		prmz 15389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. ZZ )
27		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
28		6nn 11189	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. NN
29		3z 11410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. ZZ
30		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ZZ
31		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 3 x. 2 ) )
32	29, 30, 31	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 || ( 3 x. 2 )
33		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 x. 2 ) = 6
34	32, 33	breqtri 4678	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 || 6
35		dvdsmod 15050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 2 || 6 ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
36	34, 35	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
37	27, 28, 36	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
39		uzid 11702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
41		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. Prime )
42		dvdsprm 15415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
43	40, 41, 42	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
44	38, 43	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 = P ) )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> 4 <_ P )
46		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = P -> ( 4 <_ 2 <-> 4 <_ P ) )
47	45, 46	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> 4 <_ 2 ) )
48		2lt4 11198	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 < 4
49		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
50		4re 11097	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
51	49, 50	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 < 4 <-> -. 4 <_ 2 )
52	48, 51	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 2
53	52	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 2 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
54	47, 53	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
55	44, 54	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
56		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || M ) )
57	56	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
58	55, 57	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
59	58	com3r 87	. . . . . 6 |- ( 2 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
60		3nn 11186	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. NN
61		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 3 || ( 3 x. 2 ) )
62	29, 30, 61	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 || ( 3 x. 2 )
63	62, 33	breqtri 4678	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 || 6
64		dvdsmod 15050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 3 || 6 ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
65	63, 64	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
66	60, 28, 65	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
67	26, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
68		df-3 11080	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
69		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
70	40, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 )
71	68, 70	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
72		dvdsprm 15415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
73	71, 41, 72	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
74	67, 73	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 = P ) )
75		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 = P -> ( 4 <_ 3 <-> 4 <_ P ) )
76	45, 75	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> 4 <_ 3 ) )
77		3lt4 11197	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 < 4
78		3re 11094	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
79	78, 50	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 )
80	77, 79	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 3
81	80	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 3 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
82	76, 81	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
83	74, 82	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
84		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || M ) )
85	84	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
86	83, 85	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
87	86	com3r 87	. . . . . 6 |- ( 3 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
88		eleq1a 2696	. . . . . . 7 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
89	88	a1d 25	. . . . . 6 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
90	59, 87, 89	3jaoi 1391	. . . . 5 |- ( ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } ) -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
91	24, 90	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
92	3	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( N ... 5 ) = ( ( M + 1 ) ... 5 )
93	92	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) <-> ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) )
94	1	simpri 478	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
95	93, 94	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
96	91, 95	jaod 395	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
97	23, 96	syl5bi 232	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
98	16, 97	pm3.2i 471	1 |- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   mod cmo 12668   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  ppiublem2  24928