Theorem reprgt 30699

Description: There are no representations of more than ( S x. N ) with only S terms bounded by N. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprgt.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
reprgt.a	|- ( ph -> A C_ ( 1 ... N ) )
reprgt.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
reprgt.s	|- ( ph -> S e. NN0 )
reprgt.1	|- ( ph -> ( S x. N ) < M )

Assertion

Ref	Expression
reprgt	|- ( ph -> ( A (repr ` S ) M ) = (/) )

Proof of Theorem reprgt

Dummy variables a c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprgt.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( 1 ... N ) )
2		fz1ssnn 12372	. . . 4 |- ( 1 ... N ) C_ NN
3	1, 2	syl6ss 3615	. . 3 |- ( ph -> A C_ NN )
4		reprgt.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		reprgt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. NN0 )
6	3, 4, 5	reprval 30688	. 2 |- ( ph -> ( A (repr ` S ) M ) = { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
7		fzofi 12773	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ S ) e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
9		nnssre 11024	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN C_ RR
10	3, 9	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ RR )
11	10	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. a e. ( 0..^ S ) A C_ RR )
12	11	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) A. a e. ( 0..^ S ) A C_ RR )
13	12	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> A. a e. ( 0..^ S ) A C_ RR )
14	13	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> A C_ RR )
15		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. _V )
17	16, 1	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. _V )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> A e. _V )
19	7	elexi 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ S ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> ( 0..^ S ) e. _V )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
22		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ ( 0..^ S ) e. _V ) -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> c : ( 0..^ S ) --> A ) )
23	22	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( 0..^ S ) e. _V ) /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> c : ( 0..^ S ) --> A )
24	18, 20, 21, 23	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> c : ( 0..^ S ) --> A )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> c : ( 0..^ S ) --> A )
26		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
27	25, 26	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. A )
28	14, 27	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. RR )
29	8, 28	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) e. RR )
30	5	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. RR )
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> S e. RR )
32		reprgt.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN0 )
33	32	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> N e. RR )
35	31, 34	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> ( S x. N ) e. RR )
36	4	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> M e. RR )
38	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> N e. RR )
39	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> A C_ ( 1 ... N ) )
40	39, 27	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. ( 1 ... N ) )
41		elfzle2 12345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c ` a ) e. ( 1 ... N ) -> ( c ` a ) <_ N )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) <_ N )
43	8, 28, 38, 42	fsumle 14531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) <_ sum_ a e. ( 0..^ S ) N )
44	33	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
45		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0..^ S ) e. Fin /\ N e. CC ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) N = ( ( # ` ( 0..^ S ) ) x. N ) )
46	7, 44, 45	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ a e. ( 0..^ S ) N = ( ( # ` ( 0..^ S ) ) x. N ) )
47		hashfzo0 13217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ S ) ) = S )
48	5, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 0..^ S ) ) = S )
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0..^ S ) ) x. N ) = ( S x. N ) )
50	46, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ a e. ( 0..^ S ) N = ( S x. N ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) N = ( S x. N ) )
52	43, 51	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) <_ ( S x. N ) )
53		reprgt.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S x. N ) < M )
54	53	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> ( S x. N ) < M )
55	29, 35, 37, 52, 54	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) < M )
56	29, 55	ltned 10173	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) =/= M )
57	56	neneqd 2799	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> -. sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M )
58	57	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) -. sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M )
59		rabeq0 3957	. . 3 |- ( { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } = (/) <-> A. c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) -. sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M )
60	58, 59	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } = (/) )
61	6, 60	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( A (repr ` S ) M ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117   sum_csu 14416  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  breprexplemc  30710