Theorem reprinfz1 30700

Description: For the representation of N, it is sufficient to consider nonnegative integers up to N. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprinfz1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
reprinfz1.s	|- ( ph -> S e. NN0 )
reprinfz1.a	|- ( ph -> A C_ NN )

Assertion

Ref	Expression
reprinfz1	|- ( ph -> ( A (repr ` S ) N ) = ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) (repr ` S ) N ) )

Proof of Theorem reprinfz1

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> NN e. _V )
3		reprinfz1.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ NN )
4	2, 3	ssexd 4805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. _V )
5		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ S ) e. _V
6		elmapg 7870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( 0..^ S ) e. _V ) -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> c : ( 0..^ S ) --> A ) )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> c : ( 0..^ S ) --> A ) )
8	7	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) -> c : ( 0..^ S ) --> A )
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> c : ( 0..^ S ) --> A )
10		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) -> c Fn ( 0..^ S ) )
11	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> c Fn ( 0..^ S ) )
12		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) /\ E. b e. ( 0..^ S ) -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N )
13		reprinfz1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> N e. NN0 )
14	13	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. RR )
15	14	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> N e. RR )
16	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> A C_ NN )
17		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
18	7	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> c : ( 0..^ S ) --> A ) )
19	17, 18	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> c : ( 0..^ S ) --> A )
20		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> b e. ( 0..^ S ) )
21	19, 20	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` b ) e. A )
22	16, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` b ) e. NN )
23	22	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` b ) e. RR )
24		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0..^ S ) e. Fin
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
26	3	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> A C_ NN )
27	19	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. A )
28	26, 27	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. NN )
29	28	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. RR )
30	25, 29	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) e. RR )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) )
32	13	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> N e. ZZ )
33	32	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> N e. ZZ )
34		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. ZZ -> ( ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) <-> ( ( c ` b ) e. NN /\ ( c ` b ) <_ N ) ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) <-> ( ( c ` b ) e. NN /\ ( c ` b ) <_ N ) ) )
36	22	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( c ` b ) <_ N <-> ( ( c ` b ) e. NN /\ ( c ` b ) <_ N ) ) )
37	35, 36	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) <-> ( c ` b ) <_ N ) )
38	37	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) <-> -. ( c ` b ) <_ N ) )
39	31, 38	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> -. ( c ` b ) <_ N )
40	15, 23	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( N < ( c ` b ) <-> -. ( c ` b ) <_ N ) )
41	39, 40	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> N < ( c ` b ) )
42	23	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` b ) e. CC )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = b -> ( c ` a ) = ( c ` b ) )
44	43	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. ( 0..^ S ) /\ ( c ` b ) e. CC ) -> sum_ a e. { b } ( c ` a ) = ( c ` b ) )
45	20, 42, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ a e. { b } ( c ` a ) = ( c ` b ) )
46	28	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. NN0 )
47		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c ` a ) e. NN0 -> 0 <_ ( c ` a ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> 0 <_ ( c ` a ) )
49		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b e. ( 0..^ S ) -> { b } C_ ( 0..^ S ) )
50	49	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> { b } C_ ( 0..^ S ) )
51	25, 29, 48, 50	fsumless 14528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ a e. { b } ( c ` a ) <_ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) )
52	45, 51	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` b ) <_ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) )
53	15, 23, 30, 41, 52	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> N < sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) )
54	15, 53	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> N =/= sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) )
55	54	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ b e. ( 0..^ S ) ) /\ -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) =/= N )
56	55	r19.29an 3077	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ E. b e. ( 0..^ S ) -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) =/= N )
57	56	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ E. b e. ( 0..^ S ) -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> -. sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N )
58	57	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) /\ E. b e. ( 0..^ S ) -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) -> -. sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N )
59	12, 58	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> -. E. b e. ( 0..^ S ) -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) )
60		dfral2 2994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. b e. ( 0..^ S ) ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) <-> -. E. b e. ( 0..^ S ) -. ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) )
61	59, 60	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> A. b e. ( 0..^ S ) ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) )
62	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( ( c ` a ) e. ( 1 ... N ) <-> ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) ) )
63	62	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) e. ( 1 ... N ) <-> A. b e. ( 0..^ S ) ( c ` b ) e. ( 1 ... N ) )
64	61, 63	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> A. a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) e. ( 1 ... N ) )
65	11, 64	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> ( c Fn ( 0..^ S ) /\ A. a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) e. ( 1 ... N ) ) )
66		ffnfv 6388	. . . . . . . . 9 |- ( c : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) <-> ( c Fn ( 0..^ S ) /\ A. a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) e. ( 1 ... N ) ) )
67	65, 66	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> c : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) )
68	9, 67	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> ( c : ( 0..^ S ) --> A /\ c : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) ) )
69		fin 6085	. . . . . . 7 |- ( c : ( 0..^ S ) --> ( A i^i ( 1 ... N ) ) <-> ( c : ( 0..^ S ) --> A /\ c : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) ) )
70	68, 69	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> c : ( 0..^ S ) --> ( A i^i ( 1 ... N ) ) )
71		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... N ) e. _V
72	71	inex2 4800	. . . . . . 7 |- ( A i^i ( 1 ... N ) ) e. _V
73	72, 5	elmap 7886	. . . . . 6 |- ( c e. ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) ^m ( 0..^ S ) ) <-> c : ( 0..^ S ) --> ( A i^i ( 1 ... N ) ) )
74	70, 73	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) -> c e. ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) ^m ( 0..^ S ) ) )
75	74	anasss 679	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N ) ) -> c e. ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) ^m ( 0..^ S ) ) )
76	75	rabss3d 29351	. . 3 |- ( ph -> { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N } C_ { c e. ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N } )
77		reprinfz1.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. NN0 )
78	3, 32, 77	reprval 30688	. . 3 |- ( ph -> ( A (repr ` S ) N ) = { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N } )
79		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( A i^i ( 1 ... N ) ) C_ A
80	79	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( 1 ... N ) ) C_ A )
81	80, 3	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ph -> ( A i^i ( 1 ... N ) ) C_ NN )
82	81, 32, 77	reprval 30688	. . 3 |- ( ph -> ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) (repr ` S ) N ) = { c e. ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = N } )
83	76, 78, 82	3sstr4d 3648	. 2 |- ( ph -> ( A (repr ` S ) N ) C_ ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) (repr ` S ) N ) )
84	3, 32, 77, 80	reprss 30695	. 2 |- ( ph -> ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) (repr ` S ) N ) C_ ( A (repr ` S ) N ) )
85	83, 84	eqssd 3620	1 |- ( ph -> ( A (repr ` S ) N ) = ( ( A i^i ( 1 ... N ) ) (repr ` S ) N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  reprfi2  30701  reprfz1  30702  hashrepr  30703