Theorem sadadd3 15183

Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	|- ( ph -> A C_ NN0 )
sadval.b	|- ( ph -> B C_ NN0 )
sadval.c	|- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
sadcp1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sadcadd.k	|- K = `' (bits |` NN0 )

Assertion

Ref	Expression
sadadd3	|- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )

Distinct variable groups:   m, c, n   A, c, m   B, c, m   n, N

Allowed substitution hints:   ph( m, n, c)   A( n)   B( n)   C( m, n, c)   K( m, n, c)   N( m, c)

Proof of Theorem sadadd3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. NN )
3		sadcp1.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
4	2, 3	nnexpcld 13030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN )
5	4	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
6		iddvds 14995	. . . . . 6 |- ( ( 2 ^ N ) e. ZZ -> ( 2 ^ N ) || ( 2 ^ N ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) || ( 2 ^ N ) )
8		dvds0 14997	. . . . . 6 |- ( ( 2 ^ N ) e. ZZ -> ( 2 ^ N ) || 0 )
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) || 0 )
10		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( ( 2 ^ N ) = if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( ( 2 ^ N ) || ( 2 ^ N ) <-> ( 2 ^ N ) || if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
11		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( 0 = if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( ( 2 ^ N ) || 0 <-> ( 2 ^ N ) || if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
12	10, 11	ifboth 4124	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ N ) || ( 2 ^ N ) /\ ( 2 ^ N ) || 0 ) -> ( 2 ^ N ) || if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
13	7, 9, 12	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) || if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
14		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( A sadd B )
15		sadval.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ NN0 )
16		sadval.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ NN0 )
17		sadval.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
18	15, 16, 17	sadfval 15174	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A sadd B ) = { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) } )
19		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) } C_ NN0
20	18, 19	syl6eqss 3655	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A sadd B ) C_ NN0 )
21	14, 20	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
22		fzofi 12773	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ N ) e. Fin
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
24		inss2 3834	. . . . . . . . 9 |- ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
25		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
26	23, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
27		elfpw 8268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
28	21, 26, 27	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
29		bitsf1o 15167	. . . . . . . . . 10 |- (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin )
30		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . 10 |- ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) -> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
31		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 -> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 )
32	29, 30, 31	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0
33		sadcadd.k	. . . . . . . . . 10 |- K = `' (bits |` NN0 )
34	33	feq1i 6036	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 <-> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 )
35	32, 34	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0
36	35	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
37	28, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
38	37	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
39	4	nncnd 11036	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. CC )
40		0cn 10032	. . . . . 6 |- 0 e. CC
41		ifcl 4130	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
42	39, 40, 41	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
43	38, 42	pncan2d 10394	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) - ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
44	13, 43	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) || ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) - ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
45	37	nn0zd 11480	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ )
46	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
47		0zd 11389	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> 0 e. ZZ )
48	46, 47	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. ZZ )
49	45, 48	zaddcld 11486	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. ZZ )
50		moddvds 14991	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN /\ ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. ZZ /\ ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) <-> ( 2 ^ N ) || ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) - ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
51	4, 49, 45, 50	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) <-> ( 2 ^ N ) || ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) - ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
52	44, 51	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )
53	15, 16, 17, 3, 33	sadadd2 15182	. . 3 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
54	53	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )
55	52, 54	eqtr3d 2658	1 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483  haddwhad 1532  caddwcad 1545   e. wcel 1990   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   seqcseq 12801   ^cexp 12860   || cdvds 14983  bitscbits 15141   sadd csad 15142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-had 1533  df-cad 1546  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144  df-sad 15173

This theorem is referenced by:  sadaddlem  15188  sadasslem  15192  sadeq  15194