Theorem smfresal 40995

Description: Given a sigma-measurable function, the subsets of RR whose preimage is in the sigma-algebra induced by the function's domain, form a sigma-algebra. First part of the proof of Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfresal.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smfresal.f	|- ( ph -> F e. (SMblFn ` S ) )
smfresal.d	|- D = dom F
smfresal.t	|- T = { e e. ~P RR | ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) }

Assertion

Ref	Expression
smfresal	|- ( ph -> T e. SAlg )

Distinct variable groups:   D, e   e, F   S, e   ph, e

Allowed substitution hint:   T( e)

Proof of Theorem smfresal

Dummy variables x n g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfresal.t	. . . 4 |- T = { e e. ~P RR | ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) }
2		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
3	2	pwex 4848	. . . 4 |- ~P RR e. _V
4	1, 3	rabex2 4815	. . 3 |- T e. _V
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> T e. _V )
6		0elpw 4834	. . . . 5 |- (/) e. ~P RR
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. ~P RR )
8		ima0 5481	. . . . . 6 |- ( `' F " (/) ) = (/)
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " (/) ) = (/) )
10		smfresal.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. SAlg )
11	10	uniexd 39281	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. S e. _V )
12		smfresal.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. (SMblFn ` S ) )
13		smfresal.d	. . . . . . . . 9 |- D = dom F
14	10, 12, 13	smfdmss 40942	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D C_ U. S )
15	11, 14	ssexd 4805	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. _V )
16		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( S ↾t D ) = ( S ↾t D )
17	10, 15, 16	subsalsal 40577	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ↾t D ) e. SAlg )
18	17	0sald 40568	. . . . 5 |- ( ph -> (/) e. ( S ↾t D ) )
19	9, 18	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( `' F " (/) ) e. ( S ↾t D ) )
20	7, 19	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( (/) e. ~P RR /\ ( `' F " (/) ) e. ( S ↾t D ) ) )
21		imaeq2 5462	. . . . 5 |- ( e = (/) -> ( `' F " e ) = ( `' F " (/) ) )
22	21	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( e = (/) -> ( ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) <-> ( `' F " (/) ) e. ( S ↾t D ) ) )
23	22, 1	elrab2 3366	. . 3 |- ( (/) e. T <-> ( (/) e. ~P RR /\ ( `' F " (/) ) e. ( S ↾t D ) ) )
24	20, 23	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> (/) e. T )
25		eqid 2622	. 2 |- U. T = U. T
26		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ y ph
27		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ e y
28		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ e { e e. ~P RR | ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) }
29	1, 28	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ e T
30	27, 29	eluni2f 39286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. U. T <-> E. e e. T y e. e )
31	30	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U. T -> E. e e. T y e. e )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. U. T ) -> E. e e. T y e. e )
33		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ e ph
34	29	nfuni 4442	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ e U. T
35	27, 34	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ e y e. U. T
36	33, 35	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ e ( ph /\ y e. U. T )
37	27	nfel1 2779	. . . . . . . . . . 11 |- F/ e y e. RR
38	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( e e. T <-> e e. { e e. ~P RR | ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) } )
39	38	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( e e. T -> e e. { e e. ~P RR | ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) } )
40		rabidim1 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( e e. { e e. ~P RR | ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) } -> e e. ~P RR )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e e. T -> e e. ~P RR )
42		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e e. ~P RR -> e C_ RR )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e e. T -> e C_ RR )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e e. T /\ y e. e ) -> e C_ RR )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e e. T /\ y e. e ) -> y e. e )
46	44, 45	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( e e. T /\ y e. e ) -> y e. RR )
47	46	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. T -> ( y e. e -> y e. RR ) )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. U. T ) -> ( e e. T -> ( y e. e -> y e. RR ) ) )
49	36, 37, 48	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. U. T ) -> ( E. e e. T y e. e -> y e. RR ) )
50	32, 49	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. U. T ) -> y e. RR )
51	50	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. U. T -> y e. RR ) )
52		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) e. _V )
53		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) C_ RR
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) C_ RR )
55	52, 54	elpwd 4167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) e. ~P RR )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) e. ~P RR )
57	10, 12, 13	smff 40941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : D --> RR )
58	57	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F Fn D )
59		fncnvima2 6339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn D -> ( `' F " ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) = { x e. D | ( F ` x ) e. ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) } )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( `' F " ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) = { x e. D | ( F ` x ) e. ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) } )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' F " ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) = { x e. D | ( F ` x ) e. ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) } )
62		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ph /\ y e. RR )
63	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> S e. SAlg )
64	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> D e. _V )
65	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> F : D --> RR )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. D )
67	65, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( F ` x ) e. RR )
68	67	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. D ) -> ( F ` x ) e. RR )
69	57	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F = ( x e. D |-> ( F ` x ) ) )
70	69	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. D |-> ( F ` x ) ) = F )
71	70, 12	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. D |-> ( F ` x ) ) e. (SMblFn ` S ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( x e. D |-> ( F ` x ) ) e. (SMblFn ` S ) )
73		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> ( y - 1 ) e. RR )
74	73	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> ( y - 1 ) e. RR* )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y - 1 ) e. RR* )
76		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
77	76	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR* )
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + 1 ) e. RR* )
79	62, 63, 64, 68, 72, 75, 78	smfpimioompt 40993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> { x e. D | ( F ` x ) e. ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) } e. ( S ↾t D ) )
80	61, 79	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' F " ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) e. ( S ↾t D ) )
81	56, 80	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) e. ~P RR /\ ( `' F " ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
82		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) -> ( `' F " e ) = ( `' F " ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) )
83	82	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) -> ( ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) <-> ( `' F " ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
84	83, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) e. T <-> ( ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) e. ~P RR /\ ( `' F " ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
85	81, 84	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) e. T )
86		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> y e. RR )
87		ltm1 10863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> ( y - 1 ) < y )
88		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> y < ( y + 1 ) )
89	74, 77, 86, 87, 88	eliood 39720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> y e. ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) )
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) )
91		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ e y e. ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) )
92		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ e ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) )
93		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) -> ( y e. e <-> y e. ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) )
94	91, 92, 29, 93	rspcef 39241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) e. T /\ y e. ( ( y - 1 ) (,) ( y + 1 ) ) ) -> E. e e. T y e. e )
95	85, 90, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. e e. T y e. e )
96	95, 30	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. U. T )
97	96	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. RR -> y e. U. T ) )
98	51, 97	impbid 202	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. U. T <-> y e. RR ) )
99	26, 98	alrimi 2082	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y ( y e. U. T <-> y e. RR ) )
100		dfcleq 2616	. . . . . 6 |- ( U. T = RR <-> A. y ( y e. U. T <-> y e. RR ) )
101	99, 100	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> U. T = RR )
102	101	difeq1d 3727	. . . 4 |- ( ph -> ( U. T \ x ) = ( RR \ x ) )
103	102	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( U. T \ x ) = ( RR \ x ) )
104		difss 3737	. . . . . . 7 |- ( RR \ x ) C_ RR
105	2, 104	ssexi 4803	. . . . . . . 8 |- ( RR \ x ) e. _V
106		elpwg 4166	. . . . . . . 8 |- ( ( RR \ x ) e. _V -> ( ( RR \ x ) e. ~P RR <-> ( RR \ x ) C_ RR ) )
107	105, 106	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( RR \ x ) e. ~P RR <-> ( RR \ x ) C_ RR )
108	104, 107	mpbir 221	. . . . . 6 |- ( RR \ x ) e. ~P RR
109	108	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( RR \ x ) e. ~P RR )
110	57	ffund 6049	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun F )
111		difpreima 6343	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( `' F " ( RR \ x ) ) = ( ( `' F " RR ) \ ( `' F " x ) ) )
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' F " ( RR \ x ) ) = ( ( `' F " RR ) \ ( `' F " x ) ) )
113		fimacnv 6347	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : D --> RR -> ( `' F " RR ) = D )
114	57, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' F " RR ) = D )
115	10, 14	restuni4 39304	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ( S ↾t D ) = D )
116	114, 115	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' F " RR ) = U. ( S ↾t D ) )
117	116	difeq1d 3727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( `' F " RR ) \ ( `' F " x ) ) = ( U. ( S ↾t D ) \ ( `' F " x ) ) )
118	112, 117	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " ( RR \ x ) ) = ( U. ( S ↾t D ) \ ( `' F " x ) ) )
119	118	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( `' F " ( RR \ x ) ) = ( U. ( S ↾t D ) \ ( `' F " x ) ) )
120	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( S ↾t D ) e. SAlg )
121		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = x -> ( `' F " e ) = ( `' F " x ) )
122	121	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = x -> ( ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) <-> ( `' F " x ) e. ( S ↾t D ) ) )
123	122, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. T <-> ( x e. ~P RR /\ ( `' F " x ) e. ( S ↾t D ) ) )
124	123	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( x e. T -> ( x e. ~P RR /\ ( `' F " x ) e. ( S ↾t D ) ) )
125	124	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( x e. T -> ( `' F " x ) e. ( S ↾t D ) )
126	125	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( `' F " x ) e. ( S ↾t D ) )
127	120, 126	saldifcld 40565	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( U. ( S ↾t D ) \ ( `' F " x ) ) e. ( S ↾t D ) )
128	119, 127	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( `' F " ( RR \ x ) ) e. ( S ↾t D ) )
129	109, 128	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( ( RR \ x ) e. ~P RR /\ ( `' F " ( RR \ x ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
130		imaeq2 5462	. . . . . 6 |- ( e = ( RR \ x ) -> ( `' F " e ) = ( `' F " ( RR \ x ) ) )
131	130	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( e = ( RR \ x ) -> ( ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) <-> ( `' F " ( RR \ x ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
132	131, 1	elrab2 3366	. . . 4 |- ( ( RR \ x ) e. T <-> ( ( RR \ x ) e. ~P RR /\ ( `' F " ( RR \ x ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
133	129, 132	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( RR \ x ) e. T )
134	103, 133	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( U. T \ x ) e. T )
135		nnex 11026	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
136		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( g ` n ) e. _V
137	135, 136	iunex 7147	. . . . . . 7 |- U_ n e. NN ( g ` n ) e. _V
138	137	a1i 11	. . . . . 6 |- ( g : NN --> T -> U_ n e. NN ( g ` n ) e. _V )
139		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( g : NN --> T /\ n e. NN ) -> ( g ` n ) e. T )
140	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g ` n ) e. T <-> ( g ` n ) e. { e e. ~P RR | ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) } )
141	140	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` n ) e. T -> ( g ` n ) e. { e e. ~P RR | ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) } )
142		elrabi 3359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` n ) e. { e e. ~P RR | ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) } -> ( g ` n ) e. ~P RR )
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` n ) e. T -> ( g ` n ) e. ~P RR )
144		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` n ) e. ~P RR -> ( g ` n ) C_ RR )
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( g ` n ) e. T -> ( g ` n ) C_ RR )
146	139, 145	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( g : NN --> T /\ n e. NN ) -> ( g ` n ) C_ RR )
147	146	iunssd 39271	. . . . . 6 |- ( g : NN --> T -> U_ n e. NN ( g ` n ) C_ RR )
148	138, 147	elpwd 4167	. . . . 5 |- ( g : NN --> T -> U_ n e. NN ( g ` n ) e. ~P RR )
149	148	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ g : NN --> T ) -> U_ n e. NN ( g ` n ) e. ~P RR )
150		imaiun 6503	. . . . . 6 |- ( `' F " U_ n e. NN ( g ` n ) ) = U_ n e. NN ( `' F " ( g ` n ) )
151	150	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g : NN --> T ) -> ( `' F " U_ n e. NN ( g ` n ) ) = U_ n e. NN ( `' F " ( g ` n ) ) )
152	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g : NN --> T ) -> ( S ↾t D ) e. SAlg )
153		nnct 12780	. . . . . . 7 |- NN ~<_ om
154	153	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g : NN --> T ) -> NN ~<_ om )
155		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = ( g ` n ) -> ( `' F " e ) = ( `' F " ( g ` n ) ) )
156	155	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = ( g ` n ) -> ( ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) <-> ( `' F " ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
157	156, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` n ) e. T <-> ( ( g ` n ) e. ~P RR /\ ( `' F " ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
158	157	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` n ) e. T -> ( ( g ` n ) e. ~P RR /\ ( `' F " ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
159	158	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( g ` n ) e. T -> ( `' F " ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) )
160	139, 159	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( g : NN --> T /\ n e. NN ) -> ( `' F " ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) )
161	160	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ g : NN --> T ) /\ n e. NN ) -> ( `' F " ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) )
162	152, 154, 161	saliuncl 40542	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g : NN --> T ) -> U_ n e. NN ( `' F " ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) )
163	151, 162	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ g : NN --> T ) -> ( `' F " U_ n e. NN ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) )
164	149, 163	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ g : NN --> T ) -> ( U_ n e. NN ( g ` n ) e. ~P RR /\ ( `' F " U_ n e. NN ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
165		imaeq2 5462	. . . . 5 |- ( e = U_ n e. NN ( g ` n ) -> ( `' F " e ) = ( `' F " U_ n e. NN ( g ` n ) ) )
166	165	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( e = U_ n e. NN ( g ` n ) -> ( ( `' F " e ) e. ( S ↾t D ) <-> ( `' F " U_ n e. NN ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
167	166, 1	elrab2 3366	. . 3 |- ( U_ n e. NN ( g ` n ) e. T <-> ( U_ n e. NN ( g ` n ) e. ~P RR /\ ( `' F " U_ n e. NN ( g ` n ) ) e. ( S ↾t D ) ) )
168	164, 167	sylibr 224	. 2 |- ( ( ph /\ g : NN --> T ) -> U_ n e. NN ( g ` n ) e. T )
169	5, 24, 25, 134, 168	issalnnd 40563	1 |- ( ph -> T e. SAlg )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   - cmin 10266   NNcn 11020   (,)cioo 12175   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  41005  smfpimbor1lem2  41006