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Theorem srgbinomlem3 18542
Description: Lemma 3 for srgbinomlem 18544. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s |- S = ( Base ` R )
srgbinom.m |- .X. = ( .r ` R )
srgbinom.t |- .x. = (.g ` R )
srgbinom.a |- .+ = ( +g ` R )
srgbinom.g |- G = (mulGrp ` R )
srgbinom.e |- .^ = (.g ` G )
srgbinomlem.r |- ( ph -> R e. SRing )
srgbinomlem.a |- ( ph -> A e. S )
srgbinomlem.b |- ( ph -> B e. S )
srgbinomlem.c |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgbinomlem.n |- ( ph -> N e. NN0 )
srgbinomlem.i |- ( ps -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, N   R, k   S, k   .x. , k   .X. , k   .^ , k   ph, k
Allowed substitution hints:   ps( k)   .+ ( k)   G( k)
Proof of Theorem srgbinomlem3
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . . 4 |- ( ps -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
21adantl 482 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
32oveq1d 6665 . 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. A ) )
4 srgbinom.s . . . . . 6 |- S = ( Base ` R )
5 srgbinom.a . . . . . 6 |- .+ = ( +g ` R )
6 srgbinomlem.r . . . . . . 7 |- ( ph -> R e. SRing )
7 srgcmn 18508 . . . . . . 7 |- ( R e. SRing -> R e. CMnd )
86, 7syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> R e. CMnd )
9 srgbinomlem.n . . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
10 simpl 473 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ph )
11 elfzelz 12342 . . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
12 bccl 13109 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
139, 11, 12syl2an 494 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
14 fznn0sub 12373 . . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
1514adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
16 elfznn0 12433 . . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 )
1716adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
18 srgbinom.m . . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` R )
19 srgbinom.t . . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` R )
20 srgbinom.g . . . . . . . 8 |- G = (mulGrp ` R )
21 srgbinom.e . . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` G )
22 srgbinomlem.a . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. S )
23 srgbinomlem.b . . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. S )
24 srgbinomlem.c . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
254, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 18541 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( N _C k ) e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
2610, 13, 15, 17, 25syl13anc 1328 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
274, 5, 8, 9, 26gsummptfzsplit 18332 . . . . 5 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. { ( N + 1 ) } |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
28 srgmnd 18509 . . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
296, 28syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Mnd )
30 ovexd 6680 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. _V )
31 id 22 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ph )
329nn0zd 11480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
3332peano2zd 11485 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
34 bccl 13109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( N + 1 ) ) e. NN0 )
359, 33, 34syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N _C ( N + 1 ) ) e. NN0 )
369nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
37 peano2cn 10208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. CC )
3938subidd 10380 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) = 0 )
40 0nn0 11307 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
4139, 40syl6eqel 2709 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) e. NN0 )
42 peano2nn0 11333 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
439, 42syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
444, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 18541 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( N _C ( N + 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N _C ( N + 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) e. S )
4531, 35, 41, 43, 44syl13anc 1328 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N _C ( N + 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) e. S )
46 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( N _C k ) = ( N _C ( N + 1 ) ) )
47 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) )
4847oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) = ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) )
49 oveq1 6657 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( k .^ B ) = ( ( N + 1 ) .^ B ) )
5048, 49oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) )
5146, 50oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( N _C ( N + 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) )
524, 51gsumsn 18354 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ ( N + 1 ) e. _V /\ ( ( N _C ( N + 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) e. S ) -> ( R gsumg ( k e. { ( N + 1 ) } |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( N _C ( N + 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) )
5329, 30, 45, 52syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. { ( N + 1 ) } |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( N _C ( N + 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) )
549nn0red 11352 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
5554ltp1d 10954 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N < ( N + 1 ) )
5655olcd 408 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) )
57 bcval4 13094 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
589, 33, 56, 57syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
5958oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N _C ( N + 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) = ( 0 .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) )
604, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem1 18540 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) e. S )
6131, 41, 43, 60syl12anc 1324 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) e. S )
62 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
634, 62, 19mulg0 17546 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) e. S -> ( 0 .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) = ( 0g ` R ) )
6461, 63syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 .x. ( ( ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( N + 1 ) .^ B ) ) ) = ( 0g ` R ) )
6553, 59, 643eqtrd 2660 . . . . . 6 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. { ( N + 1 ) } |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
6665oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. { ( N + 1 ) } |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( 0g ` R ) ) )
67 fzfid 12772 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
68 simpl 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ph )
69 bccl2 13110 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N _C k ) e. NN )
7069nnnn0d 11351 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
7170adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
72 fzelp1 12393 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
7372, 15sylan2 491 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
74 elfznn0 12433 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
7574adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
7668, 71, 73, 75, 25syl13anc 1328 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
7776ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
784, 8, 67, 77gsummptcl 18366 . . . . . 6 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S )
794, 5, 62mndrid 17312 . . . . . 6 |- ( ( R e. Mnd /\ ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S ) -> ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( 0g ` R ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
8029, 78, 79syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( 0g ` R ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
8127, 66, 803eqtrd 2660 . . . 4 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
826adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> R e. SRing )
8322adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. S )
8423adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B e. S )
8524adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
86 fznn0sub 12373 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
8786adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. NN0 )
884, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71srgpcomppsc 18534 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N - k ) + 1 ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
8936adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. CC )
90 1cnd 10056 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. CC )
91 elfzelz 12342 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
9291zcnd 11483 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. CC )
9392adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. CC )
9489, 90, 93addsubd 10413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N - k ) + 1 ) )
9594oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) = ( ( ( N - k ) + 1 ) .^ A ) )
9695oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( ( N - k ) + 1 ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) )
9796oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N - k ) + 1 ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
9888, 97eqtr4d 2659 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
9998mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. A ) ) = ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
10099oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. A ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
101 ovexd 6680 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. _V )
1024, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 18541 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( N _C k ) e. NN0 /\ ( N - k ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
10368, 71, 87, 75, 102syl13anc 1328 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
104 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
105 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. _V )
106 fvexd 6203 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V )
107104, 67, 105, 106fsuppmptdm 8286 . . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
1084, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107srgsummulcr 18537 . . . 4 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. A ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. A ) )
10981, 100, 1083eqtr2rd 2663 . . 3 |- ( ph -> ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. A ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
110109adantr 481 . 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. A ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
1113, 110eqtrd 2656 1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   _C cbc 13089   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294  .gcmg 17540  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489  SRingcsrg 18505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  18544
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