Theorem stoweidlem7 40224

Description: This lemma is used to prove that q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that q_n < ε on T \ U, and q_n > 1 - ε on V. Here it is proven that, for n large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable A is used to represent (k*δ) in the paper, and B is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem7.1	|- F = ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / A ) ^ i ) )
stoweidlem7.2	|- G = ( i e. NN0 |-> ( B ^ i ) )
stoweidlem7.3	|- ( ph -> A e. RR )
stoweidlem7.4	|- ( ph -> 1 < A )
stoweidlem7.5	|- ( ph -> B e. RR+ )
stoweidlem7.6	|- ( ph -> B < 1 )
stoweidlem7.7	|- ( ph -> E e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem7	|- ( ph -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( 1 / ( A ^ n ) ) < E ) )

Distinct variable groups:   i, n, A   B, i, n   i, E, n   ph, i, n   n, F   n, G

Allowed substitution hints:   F( i)   G( i)

Proof of Theorem stoweidlem7

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		stoweidlem7.7	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
4		stoweidlem7.2	. . . . . . 7 |- G = ( i e. NN0 |-> ( B ^ i ) )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> G = ( i e. NN0 |-> ( B ^ i ) ) )
6		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( B ^ i ) = ( B ^ k ) )
7	6	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ i = k ) -> ( B ^ i ) = ( B ^ k ) )
8		nnnn0 11299	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
9	8	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
10		stoweidlem7.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR+ )
11	10	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. CC )
13	12, 9	expcld 13008	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B ^ k ) e. CC )
14	5, 7, 9, 13	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( B ^ k ) )
15		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
16	15	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
17		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
18	10	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
19		neg1lt0 11127	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 < 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 < 0 )
21	10	rpgt0d 11875	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < B )
22	16, 17, 18, 20, 21	lttrd 10198	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u 1 < B )
23		stoweidlem7.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B < 1 )
24	18, 15	absltd 14168	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) < 1 <-> ( -u 1 < B /\ B < 1 ) ) )
25	22, 23, 24	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` B ) < 1 )
26	11, 25	expcnv 14596	. . . . . 6 |- ( ph -> ( i e. NN0 |-> ( B ^ i ) ) ~~> 0 )
27	4, 26	syl5eqbr 4688	. . . . 5 |- ( ph -> G ~~> 0 )
28	1, 2, 3, 14, 27	climi 14241	. . . 4 |- ( ph -> E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) )
29		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( B ^ k ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) )
30	29	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E )
31	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = i -> ( B ^ k ) = ( B ^ i ) )
33	32	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = i -> ( ( B ^ k ) - 0 ) = ( ( B ^ i ) - 0 ) )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( B ^ i ) - 0 ) ) )
35	34	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E <-> ( abs ` ( ( B ^ i ) - 0 ) ) < E ) )
36	35	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( B ^ i ) - 0 ) ) < E )
37	31, 36	sylancom 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( B ^ i ) - 0 ) ) < E )
38		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
39	38, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> B e. RR+ )
40	39	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> B e. RR )
41		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
42		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN0 )
44		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> i e. NN0 )
45	43, 44	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> i e. NN0 )
46	40, 45	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( B ^ i ) e. RR )
47		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E e. RR+ -> E e. RR )
48	38, 3, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> E e. RR )
49		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B ^ i ) e. RR -> ( B ^ i ) e. CC )
50	49	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B ^ i ) e. RR -> ( ( B ^ i ) - 0 ) = ( B ^ i ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B ^ i ) e. RR /\ E e. RR ) -> ( ( B ^ i ) - 0 ) = ( B ^ i ) )
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B ^ i ) e. RR /\ E e. RR ) -> ( abs ` ( ( B ^ i ) - 0 ) ) = ( abs ` ( B ^ i ) ) )
53	52	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ^ i ) e. RR /\ E e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( B ^ i ) - 0 ) ) < E <-> ( abs ` ( B ^ i ) ) < E ) )
54		abslt 14054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ^ i ) e. RR /\ E e. RR ) -> ( ( abs ` ( B ^ i ) ) < E <-> ( -u E < ( B ^ i ) /\ ( B ^ i ) < E ) ) )
55	53, 54	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B ^ i ) e. RR /\ E e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( B ^ i ) - 0 ) ) < E <-> ( -u E < ( B ^ i ) /\ ( B ^ i ) < E ) ) )
56	46, 48, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( B ^ i ) - 0 ) ) < E <-> ( -u E < ( B ^ i ) /\ ( B ^ i ) < E ) ) )
57	37, 56	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( -u E < ( B ^ i ) /\ ( B ^ i ) < E ) )
58	57	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( B ^ i ) < E )
59		eluznn 11758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> i e. NN )
60	41, 59	sylancom 701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> i e. NN )
61	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> B e. RR )
62		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. NN -> i e. NN0 )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
64	61, 63	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( B ^ i ) e. RR )
65	3	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. RR )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> E e. RR )
67		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 1 e. RR )
68	64, 66, 67	ltsub2d 10637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( B ^ i ) < E <-> ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ i ) ) ) )
69	38, 60, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( B ^ i ) < E <-> ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ i ) ) ) )
70	58, 69	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ i ) ) )
71	70	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ i ) ) )
72	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( 1 - ( B ^ k ) ) = ( 1 - ( B ^ i ) ) )
73	72	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) <-> ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ i ) ) ) )
74	73	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ i ) ) )
75	71, 74	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) )
76	75	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) ) )
77	76	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ph -> ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( B ^ k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( B ^ k ) - 0 ) ) < E ) -> E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) ) )
78	28, 77	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) )
79		stoweidlem7.1	. . . . . . 7 |- F = ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / A ) ^ i ) )
80	79	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F = ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / A ) ^ i ) ) )
81		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( 1 / A ) ^ i ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )
82	81	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ i = k ) -> ( ( 1 / A ) ^ i ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )
83		stoweidlem7.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
84	83	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
85		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < 1 )
87		stoweidlem7.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < A )
88	17, 15, 83, 86, 87	lttrd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < A )
89	88	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A =/= 0 )
90	84, 89	reccld 10794	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. CC )
91	90	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / A ) e. CC )
92	91, 9	expcld 13008	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / A ) ^ k ) e. CC )
93	80, 82, 9, 92	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )
94	83, 89	rereccld 10852	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. RR )
95	83, 88	recgt0d 10958	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( 1 / A ) )
96	16, 17, 94, 20, 95	lttrd 10198	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u 1 < ( 1 / A ) )
97		ltdiv23 10914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( ( 1 / A ) < 1 <-> ( 1 / 1 ) < A ) )
98	15, 83, 88, 15, 86, 97	syl122anc 1335	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) < 1 <-> ( 1 / 1 ) < A ) )
99		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
100	99	div1d 10793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 1 ) = 1 )
101	100	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 1 ) < A <-> 1 < A ) )
102	98, 101	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) < 1 <-> 1 < A ) )
103	87, 102	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / A ) < 1 )
104	94, 15	absltd 14168	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 / A ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( 1 / A ) /\ ( 1 / A ) < 1 ) ) )
105	96, 103, 104	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 / A ) ) < 1 )
106	90, 105	expcnv 14596	. . . . . 6 |- ( ph -> ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / A ) ^ i ) ) ~~> 0 )
107	79, 106	syl5eqbr 4688	. . . . 5 |- ( ph -> F ~~> 0 )
108	1, 2, 3, 93, 107	climi2 14242	. . . 4 |- ( ph -> E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( ( 1 / A ) ^ k ) - 0 ) ) < E )
109		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
110		uznnssnn 11735	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ZZ>= ` n ) C_ NN )
111	110	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ NN )
112		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
113	111, 112	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
114	92	subid1d 10381	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / A ) ^ k ) - 0 ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( ( 1 / A ) ^ k ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( 1 / A ) ^ k ) ) )
116	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / A ) e. RR )
117	116, 9	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / A ) ^ k ) e. RR )
118	17, 94, 95	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / A ) )
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / A ) )
120	116, 9, 119	expge0d 13026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( 1 / A ) ^ k ) )
121	117, 120	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( 1 / A ) ^ k ) ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )
122	115, 121	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( ( 1 / A ) ^ k ) - 0 ) ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )
123	122	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( ( ( 1 / A ) ^ k ) - 0 ) ) < E <-> ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) )
124	123	biimpd 219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( ( ( 1 / A ) ^ k ) - 0 ) ) < E -> ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) )
125	109, 113, 124	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( 1 / A ) ^ k ) - 0 ) ) < E -> ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) )
126	125	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( ( 1 / A ) ^ k ) - 0 ) ) < E -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) )
127	126	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ph -> ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( ( 1 / A ) ^ k ) - 0 ) ) < E -> E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) )
128	108, 127	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 / A ) ^ k ) < E )
129	1	rexanuz2 14089	. . 3 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) <-> ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) )
130	78, 128, 129	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) )
131		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) )
132		nnz 11399	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
133		uzid 11702	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
134	132, 133	syl 17	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
135	134	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) ) -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
136		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( B ^ k ) = ( B ^ n ) )
137	136	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( 1 - ( B ^ k ) ) = ( 1 - ( B ^ n ) ) )
138	137	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) <-> ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) ) )
139		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( 1 / A ) ^ k ) = ( ( 1 / A ) ^ n ) )
140	139	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( ( 1 / A ) ^ k ) < E <-> ( ( 1 / A ) ^ n ) < E ) )
141	138, 140	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) <-> ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ n ) < E ) ) )
142	141	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) /\ n e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ n ) < E ) )
143	131, 135, 142	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) ) -> ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ n ) < E ) )
144		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 1 e. CC )
145	84, 89	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
147	42	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
148		expdiv 12911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( 1 / A ) ^ n ) = ( ( 1 ^ n ) / ( A ^ n ) ) )
149	144, 146, 147, 148	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / A ) ^ n ) = ( ( 1 ^ n ) / ( A ^ n ) ) )
150	132	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
151		1exp 12889	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
152	150, 151	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ^ n ) = 1 )
153	152	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1 ^ n ) / ( A ^ n ) ) = ( 1 / ( A ^ n ) ) )
154	149, 153	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / A ) ^ n ) = ( 1 / ( A ^ n ) ) )
155	154	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 1 / A ) ^ n ) < E <-> ( 1 / ( A ^ n ) ) < E ) )
156	155	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) ) -> ( ( ( 1 / A ) ^ n ) < E <-> ( 1 / ( A ^ n ) ) < E ) )
157	156	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) ) -> ( ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ n ) < E ) <-> ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( 1 / ( A ^ n ) ) < E ) ) )
158	143, 157	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) ) -> ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( 1 / ( A ^ n ) ) < E ) )
159	158	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) -> ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( 1 / ( A ^ n ) ) < E ) ) )
160	159	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ k ) ) /\ ( ( 1 / A ) ^ k ) < E ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( 1 / ( A ^ n ) ) < E ) ) )
161	130, 160	mpd 15	1 |- ( ph -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( B ^ n ) ) /\ ( 1 / ( A ^ n ) ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  stoweidlem49  40266